Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28440 / 20760
↖ ↑ ↗
← N 76.664589°
W101.887207°		 ← 70.45 m → N 76.664589°
W101.884460°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.663956°
W101.887207°		 ← 70.45 m →
4 960 m²		 N 76.663956°
W101.884460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216983795166016 y=0.158390045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216983795166016 × 217)
    floor (0.216983795166016 × 131072)
    floor (28440.5)     		tx = 28440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158390045166016 × 217)
    floor (0.158390045166016 × 131072)
    floor (20760.5)     		ty = 20760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28440 / 20760 ti = "17/28440/20760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28440/20760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28440 ÷ 217
    28440 ÷ 131072     		x = 0.21697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20760 ÷ 217
    20760 ÷ 131072     		y = 0.15838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21697998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5660400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77826723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15838623046875 × 2 - 1) × π
    0.6832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14642261738763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77826723} λ = -1.77826723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14642261738763))-π/2
    2×atan(8.55420194164794)-π/2
    2×1.45442291535799-π/2
    2.90884583071599-1.57079632675     		φ = 1.33804950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77826723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33804950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.664589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28440 KachelY 20760 -1.77826723 1.33804950 -101.887207 76.664589
    Oben rechts KachelX + 1 28441 KachelY 20760 -1.77821929 1.33804950 -101.884460 76.664589
    Unten links KachelX 28440 KachelY + 1 20761 -1.77826723 1.33803845 -101.887207 76.663956
    Unten rechts KachelX + 1 28441 KachelY + 1 20761 -1.77821929 1.33803845 -101.884460 76.663956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33804950-1.33803845) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dl = 70.3995499993719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33804950-1.33803845) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dr = 70.3995499993719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77826723--1.77821929) × cos(1.33804950) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230651153063866 × 6371000     		do = 70.4467991063384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77826723--1.77821929) × cos(1.33803845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230661905103196 × 6371000     		du = 70.4500830559072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33804950)-sin(1.33803845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230651153063866-0.230661905103196)×R²
    abs(-1.77821929--1.77826723)×1.07520393297922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07520393297922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07520393297922e-05×40589641000000     		ar = 4959.53855024155m²