Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2844 / 5936
↖ ↑ ↗
← S 62.593341°
W 55.019531°		 ← 2 249.27 m → S 62.593341°
W 54.975586°		 →
↑
2 248.52 m
↓
↑
2 248.52 m
↓
S 62.613562°
W 55.019531°		 ← 2 247.74 m →
5 055 795 m²		 S 62.613562°
W 54.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34722900390625 y=0.72467041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34722900390625 × 213)
    floor (0.34722900390625 × 8192)
    floor (2844.5)     		tx = 2844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72467041015625 × 213)
    floor (0.72467041015625 × 8192)
    floor (5936.5)     		ty = 5936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2844 / 5936 ti = "13/2844/5936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2844/5936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2844 ÷ 213
    2844 ÷ 8192     		x = 0.34716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5936 ÷ 213
    5936 ÷ 8192     		y = 0.724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96027197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724609375 × 2 - 1) × π
    -0.44921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41126232481445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96027197} λ = -0.96027197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41126232481445))-π/2
    2×atan(0.243835289463767)-π/2
    2×0.239168219752432-π/2
    0.478336439504865-1.57079632675     		φ = -1.09245989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96027197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09245989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.593341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2844 KachelY 5936 -0.96027197 -1.09245989 -55.019531 -62.593341
    Oben rechts KachelX + 1 2845 KachelY 5936 -0.95950498 -1.09245989 -54.975586 -62.593341
    Unten links KachelX 2844 KachelY + 1 5937 -0.96027197 -1.09281282 -55.019531 -62.613562
    Unten rechts KachelX + 1 2845 KachelY + 1 5937 -0.95950498 -1.09281282 -54.975586 -62.613562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09245989--1.09281282) × R
    0.000352930000000029 × 6371000     		dl = 2248.51703000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09245989--1.09281282) × R
    0.000352930000000029 × 6371000     		dr = 2248.51703000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96027197--0.95950498) × cos(-1.09245989) × R
    0.000766990000000023 × 0.460302965131908 × 6371000     		do = 2249.26735048424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96027197--0.95950498) × cos(-1.09281282) × R
    0.000766990000000023 × 0.459989618665619 × 6371000     		du = 2247.73618507928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09245989)-sin(-1.09281282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460302965131908-0.459989618665619)×R²
    abs(-0.95950498--0.96027197)×0.000313346466288444×R²
    0.000766990000000023×0.000313346466288444×6371000²
    0.000766990000000023×0.000313346466288444×40589641000000     		ar = 5055794.56932123m²