Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28435 / 20751
↖ ↑ ↗
← N 76.670289°
W101.900940°		 ← 70.40 m → N 76.670289°
W101.898194°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.669656°
W101.900940°		 ← 70.41 m →
4 956 m²		 N 76.669656°
W101.898194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216945648193359 y=0.158321380615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216945648193359 × 217)
    floor (0.216945648193359 × 131072)
    floor (28435.5)     		tx = 28435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158321380615234 × 217)
    floor (0.158321380615234 × 131072)
    floor (20751.5)     		ty = 20751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28435 / 20751 ti = "17/28435/20751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28435/20751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28435 ÷ 217
    28435 ÷ 131072     		x = 0.216941833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20751 ÷ 217
    20751 ÷ 131072     		y = 0.158317565917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216941833496094 × 2 - 1) × π
    -0.566116333007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.77850691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158317565917969 × 2 - 1) × π
    0.683364868164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.14685404948421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77850691} λ = -1.77850691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14685404948421))-π/2
    2×atan(8.55789329515314)-π/2
    2×1.45447266007024-π/2
    2.90894532014047-1.57079632675     		φ = 1.33814899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77850691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.900940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33814899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.670289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28435 KachelY 20751 -1.77850691 1.33814899 -101.900940 76.670289
    Oben rechts KachelX + 1 28436 KachelY 20751 -1.77845898 1.33814899 -101.898194 76.670289
    Unten links KachelX 28435 KachelY + 1 20752 -1.77850691 1.33813794 -101.900940 76.669656
    Unten rechts KachelX + 1 28436 KachelY + 1 20752 -1.77845898 1.33813794 -101.898194 76.669656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33814899-1.33813794) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dl = 70.3995500007866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33814899-1.33813794) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dr = 70.3995500007866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77850691--1.77845898) × cos(1.33814899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230554344520338 × 6371000     		do = 70.4025426680929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77850691--1.77845898) × cos(1.33813794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23056509681319 × 6371000     		du = 70.4058260100654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33814899)-sin(1.33813794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230554344520338-0.23056509681319)×R²
    abs(-1.77845898--1.77850691)×1.0752292852384e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0752292852384e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0752292852384e-05×40589641000000     		ar = 4956.42289580403m²