Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28434 / 20754
↖ ↑ ↗
← N 76.668390°
W101.903687°		 ← 70.43 m → N 76.668390°
W101.900940°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.667756°
W101.903687°		 ← 70.43 m →
4 958 m²		 N 76.667756°
W101.900940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216938018798828 y=0.158344268798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216938018798828 × 217)
    floor (0.216938018798828 × 131072)
    floor (28434.5)     		tx = 28434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158344268798828 × 217)
    floor (0.158344268798828 × 131072)
    floor (20754.5)     		ty = 20754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28434 / 20754 ti = "17/28434/20754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28434/20754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28434 ÷ 217
    28434 ÷ 131072     		x = 0.216934204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20754 ÷ 217
    20754 ÷ 131072     		y = 0.158340454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216934204101562 × 2 - 1) × π
    -0.566131591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77855485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158340454101562 × 2 - 1) × π
    0.683319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14671023878535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77855485} λ = -1.77855485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14671023878535))-π/2
    2×atan(8.55666266702845)-π/2
    2×1.45445608081978-π/2
    2.90891216163955-1.57079632675     		φ = 1.33811583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77855485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.903687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33811583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.668390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28434 KachelY 20754 -1.77855485 1.33811583 -101.903687 76.668390
    Oben rechts KachelX + 1 28435 KachelY 20754 -1.77850691 1.33811583 -101.900940 76.668390
    Unten links KachelX 28434 KachelY + 1 20755 -1.77855485 1.33810478 -101.903687 76.667756
    Unten rechts KachelX + 1 28435 KachelY + 1 20755 -1.77850691 1.33810478 -101.900940 76.667756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33811583-1.33810478) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dl = 70.3995499993719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33811583-1.33810478) × R
    1.10499999999014e-05 × 6371000     		dr = 70.3995499993719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77855485--1.77850691) × cos(1.33811583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230586611044954 × 6371000     		do = 70.427086312451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77855485--1.77850691) × cos(1.33810478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230597363253319 × 6371000     		du = 70.4303703136475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33811583)-sin(1.33810478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230586611044954-0.230597363253319)×R²
    abs(-1.77850691--1.77855485)×1.07522083650224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07522083650224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07522083650224e-05×40589641000000     		ar = 4958.15078041282m²