Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28433 / 20753
↖ ↑ ↗
← N 76.669023°
W101.906433°		 ← 70.42 m → N 76.669023°
W101.903687°		 →
↑
70.46 m
↓
↑
70.46 m
↓
N 76.668390°
W101.906433°		 ← 70.43 m →
4 962 m²		 N 76.668390°
W101.903687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216930389404297 y=0.158336639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216930389404297 × 217)
    floor (0.216930389404297 × 131072)
    floor (28433.5)     		tx = 28433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158336639404297 × 217)
    floor (0.158336639404297 × 131072)
    floor (20753.5)     		ty = 20753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28433 / 20753 ti = "17/28433/20753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28433/20753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28433 ÷ 217
    28433 ÷ 131072     		x = 0.216926574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20753 ÷ 217
    20753 ÷ 131072     		y = 0.158332824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216926574707031 × 2 - 1) × π
    -0.566146850585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.77860279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158332824707031 × 2 - 1) × π
    0.683334350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.14675817568497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77860279} λ = -1.77860279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14675817568497))-π/2
    2×atan(8.55707285673934)-π/2
    2×1.45446160749438-π/2
    2.90892321498876-1.57079632675     		φ = 1.33812689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77860279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.906433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33812689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.669023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28433 KachelY 20753 -1.77860279 1.33812689 -101.906433 76.669023
    Oben rechts KachelX + 1 28434 KachelY 20753 -1.77855485 1.33812689 -101.903687 76.669023
    Unten links KachelX 28433 KachelY + 1 20754 -1.77860279 1.33811583 -101.906433 76.668390
    Unten rechts KachelX + 1 28434 KachelY + 1 20754 -1.77855485 1.33811583 -101.903687 76.668390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33812689-1.33811583) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dl = 70.4632600003994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33812689-1.33811583) × R
    1.10600000000627e-05 × 6371000     		dr = 70.4632600003994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77860279--1.77855485) × cos(1.33812689) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.23057584907789 × 6371000     		do = 70.4237993310228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77860279--1.77855485) × cos(1.33811583) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.230586611044954 × 6371000     		du = 70.4270863127772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33812689)-sin(1.33811583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23057584907789-0.230586611044954)×R²
    abs(-1.77855485--1.77860279)×1.0761967063927e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.0761967063927e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.0761967063927e-05×40589641000000     		ar = 4962.40628833767m²