Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2843 / 5931
↖ ↑ ↗
← S 62.492028°
W 55.063476°		 ← 2 256.93 m → S 62.492028°
W 55.019531°		 →
↑
2 256.16 m
↓
↑
2 256.16 m
↓
S 62.512318°
W 55.063476°		 ← 2 255.40 m →
5 090 279 m²		 S 62.512318°
W 55.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34710693359375 y=0.72406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34710693359375 × 213)
    floor (0.34710693359375 × 8192)
    floor (2843.5)     		tx = 2843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72406005859375 × 213)
    floor (0.72406005859375 × 8192)
    floor (5931.5)     		ty = 5931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2843 / 5931 ti = "13/2843/5931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2843/5931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2843 ÷ 213
    2843 ÷ 8192     		x = 0.3470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5931 ÷ 213
    5931 ÷ 8192     		y = 0.7239990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96103896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.447998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.40742737284485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96103896} λ = -0.96103896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40742737284485))-π/2
    2×atan(0.244772181406929)-π/2
    2×0.240052343334964-π/2
    0.480104686669927-1.57079632675     		φ = -1.09069164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96103896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.063476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09069164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.492028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2843 KachelY 5931 -0.96103896 -1.09069164 -55.063476 -62.492028
    Oben rechts KachelX + 1 2844 KachelY 5931 -0.96027197 -1.09069164 -55.019531 -62.492028
    Unten links KachelX 2843 KachelY + 1 5932 -0.96103896 -1.09104577 -55.063476 -62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 2844 KachelY + 1 5932 -0.96027197 -1.09104577 -55.019531 -62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09069164--1.09104577) × R
    0.000354130000000064 × 6371000     		dl = 2256.16223000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09069164--1.09104577) × R
    0.000354130000000064 × 6371000     		dr = 2256.16223000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96103896--0.96027197) × cos(-1.09069164) × R
    0.000766990000000023 × 0.461872029666475 × 6371000     		do = 2256.93457380398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96103896--0.96027197) × cos(-1.09104577) × R
    0.000766990000000023 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 2255.39961218378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09069164)-sin(-1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461872029666475-0.461557906320937)×R²
    abs(-0.96027197--0.96103896)×0.000314123345537431×R²
    0.000766990000000023×0.000314123345537431×6371000²
    0.000766990000000023×0.000314123345537431×40589641000000     		ar = 5090279.03297813m²