Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28427 / 20731
↖ ↑ ↗
← N 76.682948°
W101.922913°		 ← 70.35 m → N 76.682948°
W101.920166°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.682316°
W101.922913°		 ← 70.35 m →
4 948 m²		 N 76.682316°
W101.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216884613037109 y=0.158168792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216884613037109 × 217)
    floor (0.216884613037109 × 131072)
    floor (28427.5)     		tx = 28427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158168792724609 × 217)
    floor (0.158168792724609 × 131072)
    floor (20731.5)     		ty = 20731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28427 / 20731 ti = "17/28427/20731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28427/20731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28427 ÷ 217
    28427 ÷ 131072     		x = 0.216880798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20731 ÷ 217
    20731 ÷ 131072     		y = 0.158164978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216880798339844 × 2 - 1) × π
    -0.566238403320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.77889041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158164978027344 × 2 - 1) × π
    0.683670043945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.14781278747662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77889041} λ = -1.77889041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14781278747662))-π/2
    2×atan(8.56610200696328)-π/2
    2×1.45458312913567-π/2
    2.90916625827134-1.57079632675     		φ = 1.33836993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77889041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.922913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33836993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.682948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28427 KachelY 20731 -1.77889041 1.33836993 -101.922913 76.682948
    Oben rechts KachelX + 1 28428 KachelY 20731 -1.77884247 1.33836993 -101.920166 76.682948
    Unten links KachelX 28427 KachelY + 1 20732 -1.77889041 1.33835889 -101.922913 76.682316
    Unten rechts KachelX + 1 28428 KachelY + 1 20732 -1.77884247 1.33835889 -101.920166 76.682316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33836993-1.33835889) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33836993-1.33835889) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77889041--1.77884247) × cos(1.33836993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230339351139896 × 6371000     		do = 70.3515667729765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77889041--1.77884247) × cos(1.33835889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230350094264293 × 6371000     		du = 70.3548479996954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33836993)-sin(1.33835889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230339351139896-0.230350094264293)×R²
    abs(-1.77884247--1.77889041)×1.07431243970835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07431243970835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07431243970835e-05×40589641000000     		ar = 4948.35193825528m²