Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28424 / 4824
↖ ↑ ↗
← N 77.561042°
E132.275391°		 ← 263.13 m → N 77.561042°
E132.286377°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
N 77.558675°
E132.275391°		 ← 263.18 m →
69 258 m²		 N 77.558675°
E132.286377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867446899414062 y=0.147232055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867446899414062 × 215)
    floor (0.867446899414062 × 32768)
    floor (28424.5)     		tx = 28424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147232055664062 × 215)
    floor (0.147232055664062 × 32768)
    floor (4824.5)     		ty = 4824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28424 / 4824 ti = "15/28424/4824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28424/4824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28424 ÷ 215
    28424 ÷ 32768     		x = 0.867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4824 ÷ 215
    4824 ÷ 32768     		y = 0.147216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.867431640625 × 2 - 1) × π
    0.73486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30864109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147216796875 × 2 - 1) × π
    0.70556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2166022384314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30864109} λ = 2.30864109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2166022384314))-π/2
    2×atan(9.17609963909427)-π/2
    2×1.4622459381396-π/2
    2.9244918762792-1.57079632675     		φ = 1.35369555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30864109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.275391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35369555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.561042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28424 KachelY 4824 2.30864109 1.35369555 132.275391 77.561042
    Oben rechts KachelX + 1 28425 KachelY 4824 2.30883283 1.35369555 132.286377 77.561042
    Unten links KachelX 28424 KachelY + 1 4825 2.30864109 1.35365424 132.275391 77.558675
    Unten rechts KachelX + 1 28425 KachelY + 1 4825 2.30883283 1.35365424 132.286377 77.558675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35369555-1.35365424) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dl = 263.186010000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35369555-1.35365424) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dr = 263.186010000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30864109-2.30883283) × cos(1.35369555) × R
    0.000191739999999996 × 0.215399365350259 × 6371000     		do = 263.126596043394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30864109-2.30883283) × cos(1.35365424) × R
    0.000191739999999996 × 0.215439705457309 × 6371000     		du = 263.175874531447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35369555)-sin(1.35365424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215399365350259-0.215439705457309)×R²
    abs(2.30883283-2.30864109)×4.03401070495357e-05×R²
    0.000191739999999996×4.03401070495357e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.03401070495357e-05×40589641000000     		ar = 69257.7236522522m²