Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28424 / 21243
↖ ↑ ↗
← N 76.355136°
W101.931152°		 ← 72.05 m → N 76.355136°
W101.928406°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.354488°
W101.931152°		 ← 72.05 m →
5 192 m²		 N 76.354488°
W101.928406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216861724853516 y=0.162075042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216861724853516 × 217)
    floor (0.216861724853516 × 131072)
    floor (28424.5)     		tx = 28424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162075042724609 × 217)
    floor (0.162075042724609 × 131072)
    floor (21243.5)     		ty = 21243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28424 / 21243 ti = "17/28424/21243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28424/21243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28424 ÷ 217
    28424 ÷ 131072     		x = 0.21685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21243 ÷ 217
    21243 ÷ 131072     		y = 0.162071228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.5662841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77903422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162071228027344 × 2 - 1) × π
    0.675857543945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.12326909487115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77903422} λ = -1.77903422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12326909487115))-π/2
    2×atan(8.35841733242484)-π/2
    2×1.4517224292738-π/2
    2.9034448585476-1.57079632675     		φ = 1.33264853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77903422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.931152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33264853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.355136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28424 KachelY 21243 -1.77903422 1.33264853 -101.931152 76.355136
    Oben rechts KachelX + 1 28425 KachelY 21243 -1.77898628 1.33264853 -101.928406 76.355136
    Unten links KachelX 28424 KachelY + 1 21244 -1.77903422 1.33263722 -101.931152 76.354488
    Unten rechts KachelX + 1 28425 KachelY + 1 21244 -1.77898628 1.33263722 -101.928406 76.354488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33264853-1.33263722) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dl = 72.0560099992074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33264853-1.33263722) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dr = 72.0560099992074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77903422--1.77898628) × cos(1.33264853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235903104407627 × 6371000     		do = 72.0508802319495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77903422--1.77898628) × cos(1.33263722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235914095185681 × 6371000     		du = 72.0542370984699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33264853)-sin(1.33263722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235903104407627-0.235914095185681)×R²
    abs(-1.77898628--1.77903422)×1.09907780541929e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09907780541929e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09907780541929e-05×40589641000000     		ar = 5191.81988771567m²