Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28423 / 21245
↖ ↑ ↗
← N 76.353840°
W101.933899°		 ← 72.06 m → N 76.353840°
W101.931152°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.353192°
W101.933899°		 ← 72.06 m →
5 192 m²		 N 76.353192°
W101.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216854095458984 y=0.162090301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216854095458984 × 217)
    floor (0.216854095458984 × 131072)
    floor (28423.5)     		tx = 28423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162090301513672 × 217)
    floor (0.162090301513672 × 131072)
    floor (21245.5)     		ty = 21245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28423 / 21245 ti = "17/28423/21245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28423/21245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28423 ÷ 217
    28423 ÷ 131072     		x = 0.216850280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21245 ÷ 217
    21245 ÷ 131072     		y = 0.162086486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216850280761719 × 2 - 1) × π
    -0.566299438476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.77908216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162086486816406 × 2 - 1) × π
    0.675827026367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.12317322107191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77908216} λ = -1.77908216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12317322107191))-π/2
    2×atan(8.35761601761271)-π/2
    2×1.45171112028364-π/2
    2.90342224056727-1.57079632675     		φ = 1.33262591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77908216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.933899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33262591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.353840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28423 KachelY 21245 -1.77908216 1.33262591 -101.933899 76.353840
    Oben rechts KachelX + 1 28424 KachelY 21245 -1.77903422 1.33262591 -101.931152 76.353840
    Unten links KachelX 28423 KachelY + 1 21246 -1.77908216 1.33261460 -101.933899 76.353192
    Unten rechts KachelX + 1 28424 KachelY + 1 21246 -1.77903422 1.33261460 -101.931152 76.353192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33262591-1.33261460) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dl = 72.0560099992074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33262591-1.33261460) × R
    1.13099999998756e-05 × 6371000     		dr = 72.0560099992074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77908216--1.77903422) × cos(1.33262591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235925085933559 × 6371000     		do = 72.0575939557735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77908216--1.77903422) × cos(1.33261460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.235936076651257 × 6371000     		du = 72.0609508038596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33262591)-sin(1.33261460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235925085933559-0.235936076651257)×R²
    abs(-1.77903422--1.77908216)×1.09907176983615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09907176983615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09907176983615e-05×40589641000000     		ar = 5192.30365114535m²