Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28422 / 42754
↖ ↑ ↗
← S 47.997274°
W 23.873291°		 ← 408.72 m → S 47.997274°
W 23.867798°		 →
↑
408.70 m
↓
↑
408.70 m
↓
S 48.000949°
W 23.873291°		 ← 408.69 m →
167 037 m²		 S 48.000949°
W 23.867798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433692932128906 y=0.652381896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433692932128906 × 216)
    floor (0.433692932128906 × 65536)
    floor (28422.5)     		tx = 28422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652381896972656 × 216)
    floor (0.652381896972656 × 65536)
    floor (42754.5)     		ty = 42754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28422 / 42754 ti = "16/28422/42754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28422/42754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28422 ÷ 216
    28422 ÷ 65536     		x = 0.433685302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42754 ÷ 216
    42754 ÷ 65536     		y = 0.652374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.13262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41666753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.30474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.957395759211761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41666753} λ = -0.41666753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957395759211761))-π/2
    2×atan(0.383891330777341)-π/2
    2×0.366542932917196-π/2
    0.733085865834393-1.57079632675     		φ = -0.83771046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41666753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.873291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83771046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.997274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28422 KachelY 42754 -0.41666753 -0.83771046 -23.873291 -47.997274
    Oben rechts KachelX + 1 28423 KachelY 42754 -0.41657166 -0.83771046 -23.867798 -47.997274
    Unten links KachelX 28422 KachelY + 1 42755 -0.41666753 -0.83777461 -23.873291 -48.000949
    Unten rechts KachelX + 1 28423 KachelY + 1 42755 -0.41657166 -0.83777461 -23.867798 -48.000949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83771046--0.83777461) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dl = 408.699649999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83771046--0.83777461) × R
    6.41499999999295e-05 × 6371000     		dr = 408.699649999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41666753--0.41657166) × cos(-0.83771046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		do = 408.718387609948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41666753--0.41657166) × cos(-0.83777461) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669118293068648 × 6371000     		du = 408.689270089597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83771046)-sin(-0.83777461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669165965143599-0.669118293068648)×R²
    abs(-0.41657166--0.41666753)×4.76720749514881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76720749514881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76720749514881e-05×40589641000000     		ar = 167037.111861839m²