Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28422 / 21254
↖ ↑ ↗
← N 76.348008°
W101.936645°		 ← 72.07 m → N 76.348008°
W101.933899°		 →
↑
72.12 m
↓
↑
72.12 m
↓
N 76.347359°
W101.936645°		 ← 72.08 m →
5 198 m²		 N 76.347359°
W101.933899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216846466064453 y=0.162158966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216846466064453 × 217)
    floor (0.216846466064453 × 131072)
    floor (28422.5)     		tx = 28422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162158966064453 × 217)
    floor (0.162158966064453 × 131072)
    floor (21254.5)     		ty = 21254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28422 / 21254 ti = "17/28422/21254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28422/21254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28422 ÷ 217
    28422 ÷ 131072     		x = 0.216842651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21254 ÷ 217
    21254 ÷ 131072     		y = 0.162155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216842651367188 × 2 - 1) × π
    -0.566314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77913009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162155151367188 × 2 - 1) × π
    0.675689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12274178897533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77913009} λ = -1.77913009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12274178897533))-π/2
    2×atan(8.35401105151677)-π/2
    2×1.4516602167873-π/2
    2.9033204335746-1.57079632675     		φ = 1.33252411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77913009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.936645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33252411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.348008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28422 KachelY 21254 -1.77913009 1.33252411 -101.936645 76.348008
    Oben rechts KachelX + 1 28423 KachelY 21254 -1.77908216 1.33252411 -101.933899 76.348008
    Unten links KachelX 28422 KachelY + 1 21255 -1.77913009 1.33251279 -101.936645 76.347359
    Unten rechts KachelX + 1 28423 KachelY + 1 21255 -1.77908216 1.33251279 -101.933899 76.347359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33252411-1.33251279) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dl = 72.1197200002348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33252411-1.33251279) × R
    1.13200000000369e-05 × 6371000     		dr = 72.1197200002348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77913009--1.77908216) × cos(1.33252411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236024011023718 × 6371000     		do = 72.0727711349891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77913009--1.77908216) × cos(1.33251279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.236035011187165 × 6371000     		du = 72.0761301672295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33252411)-sin(1.33251279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236024011023718-0.236035011187165)×R²
    abs(-1.77908216--1.77913009)×1.10001634465451e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10001634465451e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10001634465451e-05×40589641000000     		ar = 5197.98920022582m²