Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28420 / 4858
↖ ↑ ↗
← N 77.480326°
E132.231446°		 ← 264.81 m → N 77.480326°
E132.242431°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
N 77.477944°
E132.231446°		 ← 264.86 m →
70 139 m²		 N 77.477944°
E132.242431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867324829101562 y=0.148269653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867324829101562 × 215)
    floor (0.867324829101562 × 32768)
    floor (28420.5)     		tx = 28420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148269653320312 × 215)
    floor (0.148269653320312 × 32768)
    floor (4858.5)     		ty = 4858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28420 / 4858 ti = "15/28420/4858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28420/4858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28420 ÷ 215
    28420 ÷ 32768     		x = 0.8673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4858 ÷ 215
    4858 ÷ 32768     		y = 0.14825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8673095703125 × 2 - 1) × π
    0.734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.30787410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14825439453125 × 2 - 1) × π
    0.7034912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.21008282008307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30787410} λ = 2.30787410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21008282008307))-π/2
    2×atan(9.11647138869318)-π/2
    2×1.46154155928923-π/2
    2.92308311857846-1.57079632675     		φ = 1.35228679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30787410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.231446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35228679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.480326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28420 KachelY 4858 2.30787410 1.35228679 132.231446 77.480326
    Oben rechts KachelX + 1 28421 KachelY 4858 2.30806584 1.35228679 132.242431 77.480326
    Unten links KachelX 28420 KachelY + 1 4859 2.30787410 1.35224522 132.231446 77.477944
    Unten rechts KachelX + 1 28421 KachelY + 1 4859 2.30806584 1.35224522 132.242431 77.477944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35228679-1.35224522) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35228679-1.35224522) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30787410-2.30806584) × cos(1.35228679) × R
    0.000191739999999996 × 0.216774841982838 × 6371000     		do = 264.806844653594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30787410-2.30806584) × cos(1.35224522) × R
    0.000191739999999996 × 0.216815423328621 × 6371000     		du = 264.856417832983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35228679)-sin(1.35224522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216774841982838-0.216815423328621)×R²
    abs(2.30806584-2.30787410)×4.05813457831639e-05×R²
    0.000191739999999996×4.05813457831639e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.05813457831639e-05×40589641000000     		ar = 70138.6633625652m²