Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28420 / 22055
↖ ↑ ↗
← N 50.600673°
W 23.884277°		 ← 387.68 m → N 50.600673°
W 23.878784°		 →
↑
387.74 m
↓
↑
387.74 m
↓
N 50.597186°
W 23.884277°		 ← 387.71 m →
150 324 m²		 N 50.597186°
W 23.878784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433662414550781 y=0.336540222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433662414550781 × 216)
    floor (0.433662414550781 × 65536)
    floor (28420.5)     		tx = 28420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336540222167969 × 216)
    floor (0.336540222167969 × 65536)
    floor (22055.5)     		ty = 22055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28420 / 22055 ti = "16/28420/22055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28420/22055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28420 ÷ 216
    28420 ÷ 65536     		x = 0.43365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22055 ÷ 216
    22055 ÷ 65536     		y = 0.336532592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41685928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336532592773438 × 2 - 1) × π
    0.326934814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02709601125932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41685928} λ = -0.41685928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02709601125932))-π/2
    2×atan(2.79294337053362)-π/2
    2×1.22697233707727-π/2
    2.45394467415454-1.57079632675     		φ = 0.88314835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41685928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.884277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88314835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.600673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28420 KachelY 22055 -0.41685928 0.88314835 -23.884277 50.600673
    Oben rechts KachelX + 1 28421 KachelY 22055 -0.41676341 0.88314835 -23.878784 50.600673
    Unten links KachelX 28420 KachelY + 1 22056 -0.41685928 0.88308749 -23.884277 50.597186
    Unten rechts KachelX + 1 28421 KachelY + 1 22056 -0.41676341 0.88308749 -23.878784 50.597186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88314835-0.88308749) × R
    6.08600000000514e-05 × 6371000     		dl = 387.739060000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88314835-0.88308749) × R
    6.08600000000514e-05 × 6371000     		dr = 387.739060000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41685928--0.41676341) × cos(0.88314835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63472143470513 × 6371000     		do = 387.680089674739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41685928--0.41676341) × cos(0.88308749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634768462548737 × 6371000     		du = 387.708813706463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88314835)-sin(0.88308749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63472143470513-0.634768462548737)×R²
    abs(-0.41676341--0.41685928)×4.70278436065508e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70278436065508e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70278436065508e-05×40589641000000     		ar = 150324.282312103m²