Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28420 / 20742
↖ ↑ ↗
← N 76.675988°
W101.942139°		 ← 70.39 m → N 76.675988°
W101.939392°		 →
↑
70.40 m
↓
↑
70.40 m
↓
N 76.675354°
W101.942139°		 ← 70.39 m →
4 955 m²		 N 76.675354°
W101.939392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216831207275391 y=0.158252716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216831207275391 × 217)
    floor (0.216831207275391 × 131072)
    floor (28420.5)     		tx = 28420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158252716064453 × 217)
    floor (0.158252716064453 × 131072)
    floor (20742.5)     		ty = 20742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28420 / 20742 ti = "17/28420/20742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28420/20742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28420 ÷ 217
    28420 ÷ 131072     		x = 0.216827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20742 ÷ 217
    20742 ÷ 131072     		y = 0.158248901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.56634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77922597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158248901367188 × 2 - 1) × π
    0.683502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1472854815808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77922597} λ = -1.77922597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1472854815808))-π/2
    2×atan(8.5615862415703)-π/2
    2×1.45452238390358-π/2
    2.90904476780716-1.57079632675     		φ = 1.33824844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77922597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.942139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33824844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.675988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28420 KachelY 20742 -1.77922597 1.33824844 -101.942139 76.675988
    Oben rechts KachelX + 1 28421 KachelY 20742 -1.77917803 1.33824844 -101.939392 76.675988
    Unten links KachelX 28420 KachelY + 1 20743 -1.77922597 1.33823739 -101.942139 76.675354
    Unten rechts KachelX + 1 28421 KachelY + 1 20743 -1.77917803 1.33823739 -101.939392 76.675354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33824844-1.33823739) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dl = 70.3995500007866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33824844-1.33823739) × R
    1.10500000001235e-05 × 6371000     		dr = 70.3995500007866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77922597--1.77917803) × cos(1.33824844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230457572618018 × 6371000     		do = 70.3876746554158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77922597--1.77917803) × cos(1.33823739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230468325164185 × 6371000     		du = 70.3909587597856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33824844)-sin(1.33823739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230457572618018-0.230468325164185)×R²
    abs(-1.77917803--1.77922597)×1.07525461664759e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07525461664759e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07525461664759e-05×40589641000000     		ar = 4955.37622112073m²