Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28418 / 21257
↖ ↑ ↗
← N 76.346062°
W101.947632°		 ← 72.10 m → N 76.346062°
W101.944885°		 →
↑
72.06 m
↓
↑
72.06 m
↓
N 76.345414°
W101.947632°		 ← 72.10 m →
5 195 m²		 N 76.345414°
W101.944885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216815948486328 y=0.162181854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216815948486328 × 217)
    floor (0.216815948486328 × 131072)
    floor (28418.5)     		tx = 28418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162181854248047 × 217)
    floor (0.162181854248047 × 131072)
    floor (21257.5)     		ty = 21257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28418 / 21257 ti = "17/28418/21257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28418/21257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28418 ÷ 217
    28418 ÷ 131072     		x = 0.216812133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21257 ÷ 217
    21257 ÷ 131072     		y = 0.162178039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216812133789062 × 2 - 1) × π
    -0.566375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77932184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162178039550781 × 2 - 1) × π
    0.675643920898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.12259797827647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77932184} λ = -1.77932184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12259797827647))-π/2
    2×atan(8.35280974173184)-π/2
    2×1.45164324421218-π/2
    2.90328648842436-1.57079632675     		φ = 1.33249016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77932184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33249016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.346062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28418 KachelY 21257 -1.77932184 1.33249016 -101.947632 76.346062
    Oben rechts KachelX + 1 28419 KachelY 21257 -1.77927390 1.33249016 -101.944885 76.346062
    Unten links KachelX 28418 KachelY + 1 21258 -1.77932184 1.33247885 -101.947632 76.345414
    Unten rechts KachelX + 1 28419 KachelY + 1 21258 -1.77927390 1.33247885 -101.944885 76.345414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33249016-1.33247885) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dl = 72.056010000622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33249016-1.33247885) × R
    1.13100000000976e-05 × 6371000     		dr = 72.056010000622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77932184--1.77927390) × cos(1.33249016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236057001705926 × 6371000     		do = 72.0978844281664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77932184--1.77927390) × cos(1.33247885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.236067992061291 × 6371000     		du = 72.1012411655868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33249016)-sin(1.33247885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236057001705926-0.236067992061291)×R²
    abs(-1.77927390--1.77932184)×1.099035536542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.099035536542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.099035536542e-05×40589641000000     		ar = 5195.20681782549m²