Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28413 / 22051
↖ ↑ ↗
← N 50.614617°
W 23.922730°		 ← 387.61 m → N 50.614617°
W 23.917236°		 →
↑
387.55 m
↓
↑
387.55 m
↓
N 50.611132°
W 23.922730°		 ← 387.63 m →
150 221 m²		 N 50.611132°
W 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433555603027344 y=0.336479187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433555603027344 × 216)
    floor (0.433555603027344 × 65536)
    floor (28413.5)     		tx = 28413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336479187011719 × 216)
    floor (0.336479187011719 × 65536)
    floor (22051.5)     		ty = 22051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28413 / 22051 ti = "16/28413/22051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28413/22051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28413 ÷ 216
    28413 ÷ 65536     		x = 0.433547973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22051 ÷ 216
    22051 ÷ 65536     		y = 0.336471557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433547973632812 × 2 - 1) × π
    -0.132904052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41753040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336471557617188 × 2 - 1) × π
    0.327056884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02747950645628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41753040} λ = -0.41753040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02747950645628))-π/2
    2×atan(2.79401465630495)-π/2
    2×1.22709402535567-π/2
    2.45418805071135-1.57079632675     		φ = 0.88339172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41753040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.922730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88339172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.614617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28413 KachelY 22051 -0.41753040 0.88339172 -23.922730 50.614617
    Oben rechts KachelX + 1 28414 KachelY 22051 -0.41743452 0.88339172 -23.917236 50.614617
    Unten links KachelX 28413 KachelY + 1 22052 -0.41753040 0.88333089 -23.922730 50.611132
    Unten rechts KachelX + 1 28414 KachelY + 1 22052 -0.41743452 0.88333089 -23.917236 50.611132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88339172-0.88333089) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dl = 387.547930000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88339172-0.88333089) × R
    6.08300000000117e-05 × 6371000     		dr = 387.547930000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41753040--0.41743452) × cos(0.88339172) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		do = 387.605638354909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41753040--0.41743452) × cos(0.88333089) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.634580367983464 × 6371000     		du = 387.634356961838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88339172)-sin(0.88333089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634533353925433-0.634580367983464)×R²
    abs(-0.41743452--0.41753040)×4.70140580313139e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.70140580313139e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.70140580313139e-05×40589641000000     		ar = 150221.327765167m²