Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28412 / 4820
↖ ↑ ↗
← N 77.570504°
E132.143554°		 ← 262.94 m → N 77.570504°
E132.154541°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
N 77.568139°
E132.143554°		 ← 262.99 m →
69 159 m²		 N 77.568139°
E132.154541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.867080688476562 y=0.147109985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.867080688476562 × 215)
    floor (0.867080688476562 × 32768)
    floor (28412.5)     		tx = 28412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147109985351562 × 215)
    floor (0.147109985351562 × 32768)
    floor (4820.5)     		ty = 4820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28412 / 4820 ti = "15/28412/4820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28412/4820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28412 ÷ 215
    28412 ÷ 32768     		x = 0.8670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4820 ÷ 215
    4820 ÷ 32768     		y = 0.1470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8670654296875 × 2 - 1) × π
    0.734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30634011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1470947265625 × 2 - 1) × π
    0.705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21736922882532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30634011} λ = 2.30634011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21736922882532))-π/2
    2×atan(9.18314031909293)-π/2
    2×1.46232851183432-π/2
    2.92465702366865-1.57079632675     		φ = 1.35386070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30634011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.143554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35386070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.570504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28412 KachelY 4820 2.30634011 1.35386070 132.143554 77.570504
    Oben rechts KachelX + 1 28413 KachelY 4820 2.30653186 1.35386070 132.154541 77.570504
    Unten links KachelX 28412 KachelY + 1 4821 2.30634011 1.35381942 132.143554 77.568139
    Unten rechts KachelX + 1 28413 KachelY + 1 4821 2.30653186 1.35381942 132.154541 77.568139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35386070-1.35381942) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35386070-1.35381942) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30634011-2.30653186) × cos(1.35386070) × R
    0.000191750000000379 × 0.21523808913747 × 6371000     		do = 262.943297785852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30634011-2.30653186) × cos(1.35381942) × R
    0.000191750000000379 × 0.215278401417055 × 6371000     		du = 262.99254484885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35386070)-sin(1.35381942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21523808913747-0.215278401417055)×R²
    abs(2.30653186-2.30634011)×4.03122795846478e-05×R²
    0.000191750000000379×4.03122795846478e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.03122795846478e-05×40589641000000     		ar = 69159.2169204104m²