Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2841 / 5949
↖ ↑ ↗
← S 62.855145°
W 55.151367°		 ← 2 229.42 m → S 62.855145°
W 55.107422°		 →
↑
2 228.64 m
↓
↑
2 228.64 m
↓
S 62.875188°
W 55.151367°		 ← 2 227.90 m →
4 966 883 m²		 S 62.875188°
W 55.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34686279296875 y=0.72625732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34686279296875 × 213)
    floor (0.34686279296875 × 8192)
    floor (2841.5)     		tx = 2841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72625732421875 × 213)
    floor (0.72625732421875 × 8192)
    floor (5949.5)     		ty = 5949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2841 / 5949 ti = "13/2841/5949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2841/5949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2841 ÷ 213
    2841 ÷ 8192     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5949 ÷ 213
    5949 ÷ 8192     		y = 0.7261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42123319993542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42123319993542))-π/2
    2×atan(0.241416118908651)-π/2
    2×0.236883542679807-π/2
    0.473767085359614-1.57079632675     		φ = -1.09702924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09702924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.855145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2841 KachelY 5949 -0.96257294 -1.09702924 -55.151367 -62.855145
    Oben rechts KachelX + 1 2842 KachelY 5949 -0.96180595 -1.09702924 -55.107422 -62.855145
    Unten links KachelX 2841 KachelY + 1 5950 -0.96257294 -1.09737905 -55.151367 -62.875188
    Unten rechts KachelX + 1 2842 KachelY + 1 5950 -0.96180595 -1.09737905 -55.107422 -62.875188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09702924--1.09737905) × R
    0.000349810000000117 × 6371000     		dl = 2228.63951000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09702924--1.09737905) × R
    0.000349810000000117 × 6371000     		dr = 2228.63951000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96180595) × cos(-1.09702924) × R
    0.000766990000000023 × 0.456241679122718 × 6371000     		do = 2229.42190365156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96180595) × cos(-1.09737905) × R
    0.000766990000000023 × 0.455930370720749 × 6371000     		du = 2227.90069723422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09702924)-sin(-1.09737905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456241679122718-0.455930370720749)×R²
    abs(-0.96180595--0.96257294)×0.000311308401968968×R²
    0.000766990000000023×0.000311308401968968×6371000²
    0.000766990000000023×0.000311308401968968×40589641000000     		ar = 4966882.67922485m²