Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28407 / 4529
↖ ↑ ↗
← N 78.240197°
E132.088623°		 ← 248.97 m → N 78.240197°
E132.099609°		 →
↑
249.04 m
↓
↑
249.04 m
↓
N 78.237958°
E132.088623°		 ← 249.02 m →
62 010 m²		 N 78.237958°
E132.099609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866928100585938 y=0.138229370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866928100585938 × 215)
    floor (0.866928100585938 × 32768)
    floor (28407.5)     		tx = 28407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138229370117188 × 215)
    floor (0.138229370117188 × 32768)
    floor (4529.5)     		ty = 4529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28407 / 4529 ti = "15/28407/4529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28407/4529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28407 ÷ 215
    28407 ÷ 32768     		x = 0.866912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4529 ÷ 215
    4529 ÷ 32768     		y = 0.138214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866912841796875 × 2 - 1) × π
    0.73382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30538138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138214111328125 × 2 - 1) × π
    0.72357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27316777998306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30538138} λ = 2.30538138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27316777998306))-π/2
    2×atan(9.71011164311296)-π/2
    2×1.46817268741195-π/2
    2.9363453748239-1.57079632675     		φ = 1.36554905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30538138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36554905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.240197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28407 KachelY 4529 2.30538138 1.36554905 132.088623 78.240197
    Oben rechts KachelX + 1 28408 KachelY 4529 2.30557312 1.36554905 132.099609 78.240197
    Unten links KachelX 28407 KachelY + 1 4530 2.30538138 1.36550996 132.088623 78.237958
    Unten rechts KachelX + 1 28408 KachelY + 1 4530 2.30557312 1.36550996 132.099609 78.237958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36554905-1.36550996) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dl = 249.042390000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36554905-1.36550996) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dr = 249.042390000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30538138-2.30557312) × cos(1.36554905) × R
    0.000191739999999996 × 0.203809252740931 × 6371000     		do = 248.968397973994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30538138-2.30557312) × cos(1.36550996) × R
    0.000191739999999996 × 0.203847522110233 × 6371000     		du = 249.015146899464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36554905)-sin(1.36550996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203809252740931-0.203847522110233)×R²
    abs(2.30557312-2.30538138)×3.82693693016245e-05×R²
    0.000191739999999996×3.82693693016245e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.82693693016245e-05×40589641000000     		ar = 62009.5061055707m²