Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28407 / 4528
↖ ↑ ↗
← N 78.242436°
E132.088623°		 ← 248.92 m → N 78.242436°
E132.099609°		 →
↑
248.91 m
↓
↑
248.91 m
↓
N 78.240197°
E132.088623°		 ← 248.97 m →
61 966 m²		 N 78.240197°
E132.099609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866928100585938 y=0.138198852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866928100585938 × 215)
    floor (0.866928100585938 × 32768)
    floor (28407.5)     		tx = 28407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138198852539062 × 215)
    floor (0.138198852539062 × 32768)
    floor (4528.5)     		ty = 4528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28407 / 4528 ti = "15/28407/4528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28407/4528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28407 ÷ 215
    28407 ÷ 32768     		x = 0.866912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4528 ÷ 215
    4528 ÷ 32768     		y = 0.13818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866912841796875 × 2 - 1) × π
    0.73382568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30538138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13818359375 × 2 - 1) × π
    0.7236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27335952758154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30538138} λ = 2.30538138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27335952758154))-π/2
    2×atan(9.71197371221944)-π/2
    2×1.46819222554558-π/2
    2.93638445109115-1.57079632675     		φ = 1.36558812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30538138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36558812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.242436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28407 KachelY 4528 2.30538138 1.36558812 132.088623 78.242436
    Oben rechts KachelX + 1 28408 KachelY 4528 2.30557312 1.36558812 132.099609 78.242436
    Unten links KachelX 28407 KachelY + 1 4529 2.30538138 1.36554905 132.088623 78.240197
    Unten rechts KachelX + 1 28408 KachelY + 1 4529 2.30557312 1.36554905 132.099609 78.240197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36558812-1.36554905) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dl = 248.914969999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36558812-1.36554905) × R
    3.90699999999189e-05 × 6371000     		dr = 248.914969999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30538138-2.30557312) × cos(1.36558812) × R
    0.000191739999999996 × 0.203771002640575 × 6371000     		do = 248.921672586997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30538138-2.30557312) × cos(1.36554905) × R
    0.000191739999999996 × 0.203809252740931 × 6371000     		du = 248.968397973994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36558812)-sin(1.36554905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203771002640575-0.203809252740931)×R²
    abs(2.30557312-2.30538138)×3.82501003561853e-05×R²
    0.000191739999999996×3.82501003561853e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.82501003561853e-05×40589641000000     		ar = 61966.1459961252m²