Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28404 / 4838
↖ ↑ ↗
← N 77.527868°
E132.055664°		 ← 263.83 m → N 77.527868°
E132.066650°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
N 77.525495°
E132.055664°		 ← 263.88 m →
69 628 m²		 N 77.525495°
E132.066650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866836547851562 y=0.147659301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866836547851562 × 215)
    floor (0.866836547851562 × 32768)
    floor (28404.5)     		tx = 28404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147659301757812 × 215)
    floor (0.147659301757812 × 32768)
    floor (4838.5)     		ty = 4838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28404 / 4838 ti = "15/28404/4838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28404/4838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28404 ÷ 215
    28404 ÷ 32768     		x = 0.8668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4838 ÷ 215
    4838 ÷ 32768     		y = 0.14764404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8668212890625 × 2 - 1) × π
    0.733642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30480613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14764404296875 × 2 - 1) × π
    0.7047119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21391777205267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30480613} λ = 2.30480613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21391777205267))-π/2
    2×atan(9.15149974169703)-π/2
    2×1.4619564426946-π/2
    2.9239128853892-1.57079632675     		φ = 1.35311656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30480613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35311656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.527868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28404 KachelY 4838 2.30480613 1.35311656 132.055664 77.527868
    Oben rechts KachelX + 1 28405 KachelY 4838 2.30499788 1.35311656 132.066650 77.527868
    Unten links KachelX 28404 KachelY + 1 4839 2.30480613 1.35307514 132.055664 77.525495
    Unten rechts KachelX + 1 28405 KachelY + 1 4839 2.30499788 1.35307514 132.066650 77.525495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35311656-1.35307514) × R
    4.14199999998477e-05 × 6371000     		dl = 263.88681999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35311656-1.35307514) × R
    4.14199999998477e-05 × 6371000     		dr = 263.88681999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30480613-2.30499788) × cos(1.35311656) × R
    0.000191750000000379 × 0.215964728028427 × 6371000     		do = 263.830988375624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30480613-2.30499788) × cos(1.35307514) × R
    0.000191750000000379 × 0.21600517037944 × 6371000     		du = 263.880394338983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35311656)-sin(1.35307514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215964728028427-0.21600517037944)×R²
    abs(2.30499788-2.30480613)×4.0442351012443e-05×R²
    0.000191750000000379×4.0442351012443e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.0442351012443e-05×40589641000000     		ar = 69628.0393410528m²