Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28404 / 4828
↖ ↑ ↗
← N 77.551572°
E132.055664°		 ← 263.34 m → N 77.551572°
E132.066650°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
N 77.549204°
E132.055664°		 ← 263.39 m →
69 364 m²		 N 77.549204°
E132.066650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866836547851562 y=0.147354125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866836547851562 × 215)
    floor (0.866836547851562 × 32768)
    floor (28404.5)     		tx = 28404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147354125976562 × 215)
    floor (0.147354125976562 × 32768)
    floor (4828.5)     		ty = 4828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28404 / 4828 ti = "15/28404/4828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28404/4828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28404 ÷ 215
    28404 ÷ 32768     		x = 0.8668212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4828 ÷ 215
    4828 ÷ 32768     		y = 0.1473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8668212890625 × 2 - 1) × π
    0.733642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.30480613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1473388671875 × 2 - 1) × π
    0.705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21583524803748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30480613} λ = 2.30480613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21583524803748))-π/2
    2×atan(9.16906435715915)-π/2
    2×1.46216330257516-π/2
    2.92432660515032-1.57079632675     		φ = 1.35353028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30480613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.055664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35353028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.551572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28404 KachelY 4828 2.30480613 1.35353028 132.055664 77.551572
    Oben rechts KachelX + 1 28405 KachelY 4828 2.30499788 1.35353028 132.066650 77.551572
    Unten links KachelX 28404 KachelY + 1 4829 2.30480613 1.35348894 132.055664 77.549204
    Unten rechts KachelX + 1 28405 KachelY + 1 4829 2.30499788 1.35348894 132.066650 77.549204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35353028-1.35348894) × R
    4.13399999998898e-05 × 6371000     		dl = 263.377139999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35353028-1.35348894) × R
    4.13399999998898e-05 × 6371000     		dr = 263.377139999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30480613-2.30499788) × cos(1.35353028) × R
    0.000191750000000379 × 0.215560752866987 × 6371000     		do = 263.337476462382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30480613-2.30499788) × cos(1.35348894) × R
    0.000191750000000379 × 0.215601120797196 × 6371000     		du = 263.386791510367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35353028)-sin(1.35348894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215560752866987-0.215601120797196)×R²
    abs(2.30499788-2.30480613)×4.03679302095061e-05×R²
    0.000191750000000379×4.03679302095061e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.03679302095061e-05×40589641000000     		ar = 69363.5656434792m²