Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28403 / 4563
↖ ↑ ↗
← N 78.163824°
E132.044678°		 ← 250.56 m → N 78.163824°
E132.055664°		 →
↑
250.57 m
↓
↑
250.57 m
↓
N 78.161570°
E132.044678°		 ← 250.61 m →
62 790 m²		 N 78.161570°
E132.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866806030273438 y=0.139266967773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866806030273438 × 215)
    floor (0.866806030273438 × 32768)
    floor (28403.5)     		tx = 28403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139266967773438 × 215)
    floor (0.139266967773438 × 32768)
    floor (4563.5)     		ty = 4563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28403 / 4563 ti = "15/28403/4563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28403/4563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28403 ÷ 215
    28403 ÷ 32768     		x = 0.866790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4563 ÷ 215
    4563 ÷ 32768     		y = 0.139251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866790771484375 × 2 - 1) × π
    0.73358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30461439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139251708984375 × 2 - 1) × π
    0.72149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26664836163474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30461439} λ = 2.30461439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26664836163474))-π/2
    2×atan(9.64701326893976)-π/2
    2×1.46750620403204-π/2
    2.93501240806407-1.57079632675     		φ = 1.36421608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30461439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.044678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36421608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.163824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28403 KachelY 4563 2.30461439 1.36421608 132.044678 78.163824
    Oben rechts KachelX + 1 28404 KachelY 4563 2.30480613 1.36421608 132.055664 78.163824
    Unten links KachelX 28403 KachelY + 1 4564 2.30461439 1.36417675 132.044678 78.161570
    Unten rechts KachelX + 1 28404 KachelY + 1 4564 2.30480613 1.36417675 132.055664 78.161570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36421608-1.36417675) × R
    3.93300000001151e-05 × 6371000     		dl = 250.571430000733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36421608-1.36417675) × R
    3.93300000001151e-05 × 6371000     		dr = 250.571430000733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30461439-2.30480613) × cos(1.36421608) × R
    0.000191739999999996 × 0.205114063071791 × 6371000     		do = 250.562322358511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30461439-2.30480613) × cos(1.36417675) × R
    0.000191739999999996 × 0.205152556681664 × 6371000     		du = 250.609345210779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36421608)-sin(1.36417675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205114063071791-0.205152556681664)×R²
    abs(2.30480613-2.30461439)×3.84936098733746e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84936098733746e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84936098733746e-05×40589641000000     		ar = 62789.6507173236m²