Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28403 / 4494
↖ ↑ ↗
← N 78.318309°
E132.044678°		 ← 247.34 m → N 78.318309°
E132.055664°		 →
↑
247.39 m
↓
↑
247.39 m
↓
N 78.316084°
E132.044678°		 ← 247.38 m →
61 194 m²		 N 78.316084°
E132.055664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866806030273438 y=0.137161254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866806030273438 × 215)
    floor (0.866806030273438 × 32768)
    floor (28403.5)     		tx = 28403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137161254882812 × 215)
    floor (0.137161254882812 × 32768)
    floor (4494.5)     		ty = 4494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28403 / 4494 ti = "15/28403/4494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28403/4494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28403 ÷ 215
    28403 ÷ 32768     		x = 0.866790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4494 ÷ 215
    4494 ÷ 32768     		y = 0.13714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.866790771484375 × 2 - 1) × π
    0.73358154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.30461439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13714599609375 × 2 - 1) × π
    0.7257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27987894592987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30461439} λ = 2.30461439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27987894592987))-π/2
    2×atan(9.77549697420425)-π/2
    2×1.46885434426641-π/2
    2.93770868853282-1.57079632675     		φ = 1.36691236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30461439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.044678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36691236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.318309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28403 KachelY 4494 2.30461439 1.36691236 132.044678 78.318309
    Oben rechts KachelX + 1 28404 KachelY 4494 2.30480613 1.36691236 132.055664 78.318309
    Unten links KachelX 28403 KachelY + 1 4495 2.30461439 1.36687353 132.044678 78.316084
    Unten rechts KachelX + 1 28404 KachelY + 1 4495 2.30480613 1.36687353 132.055664 78.316084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36691236-1.36687353) × R
    3.88300000000452e-05 × 6371000     		dl = 247.385930000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36691236-1.36687353) × R
    3.88300000000452e-05 × 6371000     		dr = 247.385930000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30461439-2.30480613) × cos(1.36691236) × R
    0.000191739999999996 × 0.202474368788557 × 6371000     		do = 247.337736389035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30461439-2.30480613) × cos(1.36687353) × R
    0.000191739999999996 × 0.202512394371955 × 6371000     		du = 247.384187511609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36691236)-sin(1.36687353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202474368788557-0.202512394371955)×R²
    abs(2.30480613-2.30461439)×3.802558339841e-05×R²
    0.000191739999999996×3.802558339841e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.802558339841e-05×40589641000000     		ar = 61193.6216258411m²