Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28402 / 22344
↖ ↑ ↗
← N 49.582226°
W 23.983154°		 ← 396.05 m → N 49.582226°
W 23.977661°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
N 49.578664°
W 23.983154°		 ← 396.08 m →
156 850 m²		 N 49.578664°
W 23.977661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433387756347656 y=0.340950012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433387756347656 × 216)
    floor (0.433387756347656 × 65536)
    floor (28402.5)     		tx = 28402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340950012207031 × 216)
    floor (0.340950012207031 × 65536)
    floor (22344.5)     		ty = 22344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28402 / 22344 ti = "16/28402/22344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28402/22344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28402 ÷ 216
    28402 ÷ 65536     		x = 0.433380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22344 ÷ 216
    22344 ÷ 65536     		y = 0.3409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.13323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41858501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41858501} λ = -0.41858501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999388483278931))-π/2
    2×atan(2.71662006181919)-π/2
    2×1.21808471086156-π/2
    2.43616942172311-1.57079632675     		φ = 0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41858501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28402 KachelY 22344 -0.41858501 0.86537309 -23.983154 49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 28403 KachelY 22344 -0.41848913 0.86537309 -23.977661 49.582226
    Unten links KachelX 28402 KachelY + 1 22345 -0.41858501 0.86531093 -23.983154 49.578664
    Unten rechts KachelX + 1 28403 KachelY + 1 22345 -0.41848913 0.86531093 -23.977661 49.578664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86537309-0.86531093) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dl = 396.021359999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86537309-0.86531093) × R
    6.21599999999223e-05 × 6371000     		dr = 396.021359999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41858501--0.41848913) × cos(0.86537309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 396.049291508974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41858501--0.41848913) × cos(0.86531093) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.648403436985632 × 6371000     		du = 396.07819911973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86537309)-sin(0.86531093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648403436985632)×R²
    abs(-0.41848913--0.41858501)×4.73234684742474e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73234684742474e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73234684742474e-05×40589641000000     		ar = 156849.703116451m²