Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28401 / 22348
↖ ↑ ↗
← N 49.567978°
W 23.988647°		 ← 396.12 m → N 49.567978°
W 23.983154°		 →
↑
396.15 m
↓
↑
396.15 m
↓
N 49.564415°
W 23.988647°		 ← 396.15 m →
156 930 m²		 N 49.564415°
W 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433372497558594 y=0.341011047363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433372497558594 × 216)
    floor (0.433372497558594 × 65536)
    floor (28401.5)     		tx = 28401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341011047363281 × 216)
    floor (0.341011047363281 × 65536)
    floor (22348.5)     		ty = 22348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28401 / 22348 ti = "16/28401/22348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28401/22348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28401 ÷ 216
    28401 ÷ 65536     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22348 ÷ 216
    22348 ÷ 65536     		y = 0.34100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34100341796875 × 2 - 1) × π
    0.3179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.99900498808197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99900498808197))-π/2
    2×atan(2.71557845081269)-π/2
    2×1.21796037198515-π/2
    2.43592074397031-1.57079632675     		φ = 0.86512442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86512442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.567978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28401 KachelY 22348 -0.41868088 0.86512442 -23.988647 49.567978
    Oben rechts KachelX + 1 28402 KachelY 22348 -0.41858501 0.86512442 -23.983154 49.567978
    Unten links KachelX 28401 KachelY + 1 22349 -0.41868088 0.86506224 -23.988647 49.564415
    Unten rechts KachelX + 1 28402 KachelY + 1 22349 -0.41858501 0.86506224 -23.983154 49.564415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86512442-0.86506224) × R
    6.21800000000228e-05 × 6371000     		dl = 396.148780000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86512442-0.86506224) × R
    6.21800000000228e-05 × 6371000     		dr = 396.148780000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.86512442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648545415193541 × 6371000     		do = 396.123607889778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.86506224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648592743861046 × 6371000     		du = 396.152515661061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86512442)-sin(0.86506224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648545415193541-0.648592743861046)×R²
    abs(-0.41858501--0.41868088)×4.7328667505675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7328667505675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7328667505675e-05×40589641000000     		ar = 156929.609934501m²