Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28401 / 22339
↖ ↑ ↗
← N 49.600030°
W 23.988647°		 ← 395.86 m → N 49.600030°
W 23.983154°		 →
↑
395.89 m
↓
↑
395.89 m
↓
N 49.596470°
W 23.988647°		 ← 395.89 m →
156 726 m²		 N 49.596470°
W 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433372497558594 y=0.340873718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433372497558594 × 216)
    floor (0.433372497558594 × 65536)
    floor (28401.5)     		tx = 28401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340873718261719 × 216)
    floor (0.340873718261719 × 65536)
    floor (22339.5)     		ty = 22339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28401 / 22339 ti = "16/28401/22339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28401/22339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28401 ÷ 216
    28401 ÷ 65536     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22339 ÷ 216
    22339 ÷ 65536     		y = 0.340866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340866088867188 × 2 - 1) × π
    0.318267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.999867852275131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999867852275131))-π/2
    2×atan(2.71792263743352)-π/2
    2×1.21824008341359-π/2
    2.43648016682718-1.57079632675     		φ = 0.86568384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86568384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.600030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28401 KachelY 22339 -0.41868088 0.86568384 -23.988647 49.600030
    Oben rechts KachelX + 1 28402 KachelY 22339 -0.41858501 0.86568384 -23.983154 49.600030
    Unten links KachelX 28401 KachelY + 1 22340 -0.41868088 0.86562170 -23.988647 49.596470
    Unten rechts KachelX + 1 28402 KachelY + 1 22340 -0.41858501 0.86562170 -23.983154 49.596470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86568384-0.86562170) × R
    6.21399999999328e-05 × 6371000     		dl = 395.893939999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86568384-0.86562170) × R
    6.21399999999328e-05 × 6371000     		dr = 395.893939999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.86568384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648119496677964 × 6371000     		do = 395.863462069447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.86562170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648166817438432 × 6371000     		du = 395.892365011208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86568384)-sin(0.86562170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648119496677964-0.648166817438432)×R²
    abs(-0.41858501--0.41868088)×4.73207604680947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73207604680947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73207604680947e-05×40589641000000     		ar = 156725.667000913m²