Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28401 / 22163
↖ ↑ ↗
← N 50.222609°
W 23.988647°		 ← 390.79 m → N 50.222609°
W 23.983154°		 →
↑
390.80 m
↓
↑
390.80 m
↓
N 50.219095°
W 23.988647°		 ← 390.81 m →
152 724 m²		 N 50.219095°
W 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433372497558594 y=0.338188171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433372497558594 × 216)
    floor (0.433372497558594 × 65536)
    floor (28401.5)     		tx = 28401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338188171386719 × 216)
    floor (0.338188171386719 × 65536)
    floor (22163.5)     		ty = 22163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28401 / 22163 ti = "16/28401/22163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28401/22163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28401 ÷ 216
    28401 ÷ 65536     		x = 0.433364868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22163 ÷ 216
    22163 ÷ 65536     		y = 0.338180541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433364868164062 × 2 - 1) × π
    -0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338180541992188 × 2 - 1) × π
    0.323638916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01674164094139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41868088} λ = -0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01674164094139))-π/2
    2×atan(2.76417340507864)-π/2
    2×1.22367310910578-π/2
    2.44734621821155-1.57079632675     		φ = 0.87654989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87654989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.222609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28401 KachelY 22163 -0.41868088 0.87654989 -23.988647 50.222609
    Oben rechts KachelX + 1 28402 KachelY 22163 -0.41858501 0.87654989 -23.983154 50.222609
    Unten links KachelX 28401 KachelY + 1 22164 -0.41868088 0.87648855 -23.988647 50.219095
    Unten rechts KachelX + 1 28402 KachelY + 1 22164 -0.41858501 0.87648855 -23.983154 50.219095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87654989-0.87648855) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dl = 390.797140000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87654989-0.87648855) × R
    6.13400000000208e-05 × 6371000     		dr = 390.797140000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.87654989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63980648075288 × 6371000     		do = 390.785973610591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41868088--0.41858501) × cos(0.87648855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639853621550772 × 6371000     		du = 390.814766633411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87654989)-sin(0.87648855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63980648075288-0.639853621550772)×R²
    abs(-0.41858501--0.41868088)×4.71407978916982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71407978916982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71407978916982e-05×40589641000000     		ar = 152723.667002575m²