Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28400 / 4560
↖ ↑ ↗
← N 78.170582°
E132.011719°		 ← 250.43 m → N 78.170582°
E132.022705°		 →
↑
250.44 m
↓
↑
250.44 m
↓
N 78.168330°
E132.011719°		 ← 250.48 m →
62 726 m²		 N 78.168330°
E132.022705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866714477539062 y=0.139175415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866714477539062 × 215)
    floor (0.866714477539062 × 32768)
    floor (28400.5)     		tx = 28400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139175415039062 × 215)
    floor (0.139175415039062 × 32768)
    floor (4560.5)     		ty = 4560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28400 / 4560 ti = "15/28400/4560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28400/4560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28400 ÷ 215
    28400 ÷ 32768     		x = 0.86669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4560 ÷ 215
    4560 ÷ 32768     		y = 0.13916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86669921875 × 2 - 1) × π
    0.7333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30403914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13916015625 × 2 - 1) × π
    0.7216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26722360443018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30403914} λ = 2.30403914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26722360443018))-π/2
    2×atan(9.65256424024529)-π/2
    2×1.46756518262067-π/2
    2.93513036524134-1.57079632675     		φ = 1.36433404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30403914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36433404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.170582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28400 KachelY 4560 2.30403914 1.36433404 132.011719 78.170582
    Oben rechts KachelX + 1 28401 KachelY 4560 2.30423089 1.36433404 132.022705 78.170582
    Unten links KachelX 28400 KachelY + 1 4561 2.30403914 1.36429473 132.011719 78.168330
    Unten rechts KachelX + 1 28401 KachelY + 1 4561 2.30423089 1.36429473 132.022705 78.168330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36433404-1.36429473) × R
    3.93100000000146e-05 × 6371000     		dl = 250.444010000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36433404-1.36429473) × R
    3.93100000000146e-05 × 6371000     		dr = 250.444010000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30403914-2.30423089) × cos(1.36433404) × R
    0.000191749999999935 × 0.204998609701595 × 6371000     		do = 250.434347806814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30403914-2.30423089) × cos(1.36429473) × R
    0.000191749999999935 × 0.205037084687805 × 6371000     		du = 250.481350360111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36433404)-sin(1.36429473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204998609701595-0.205037084687805)×R²
    abs(2.30423089-2.30403914)×3.84749862100686e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84749862100686e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84749862100686e-05×40589641000000     		ar = 62725.6680681189m²