Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28400 / 22345
↖ ↑ ↗
← N 49.578664°
W 23.994141°		 ← 396.08 m → N 49.578664°
W 23.988647°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
N 49.575103°
W 23.994141°		 ← 396.11 m →
156 861 m²		 N 49.575103°
W 23.988647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433357238769531 y=0.340965270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433357238769531 × 216)
    floor (0.433357238769531 × 65536)
    floor (28400.5)     		tx = 28400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340965270996094 × 216)
    floor (0.340965270996094 × 65536)
    floor (22345.5)     		ty = 22345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28400 / 22345 ti = "16/28400/22345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28400/22345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28400 ÷ 216
    28400 ÷ 65536     		x = 0.433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22345 ÷ 216
    22345 ÷ 65536     		y = 0.340957641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340957641601562 × 2 - 1) × π
    0.318084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.999292609479691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41877676} λ = -0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999292609479691))-π/2
    2×atan(2.71635962161767)-π/2
    2×1.21805362954549-π/2
    2.43610725909098-1.57079632675     		φ = 0.86531093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86531093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.578664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28400 KachelY 22345 -0.41877676 0.86531093 -23.994141 49.578664
    Oben rechts KachelX + 1 28401 KachelY 22345 -0.41868088 0.86531093 -23.988647 49.578664
    Unten links KachelX 28400 KachelY + 1 22346 -0.41877676 0.86524877 -23.994141 49.575103
    Unten rechts KachelX + 1 28401 KachelY + 1 22346 -0.41868088 0.86524877 -23.988647 49.575103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86531093-0.86524877) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dl = 396.021360000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86531093-0.86524877) × R
    6.21600000000333e-05 × 6371000     		dr = 396.021360000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41877676--0.41868088) × cos(0.86531093) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.648403436985632 × 6371000     		do = 396.078199119959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41877676--0.41868088) × cos(0.86524877) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.648450757948763 × 6371000     		du = 396.107105200323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86531093)-sin(0.86524877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648403436985632-0.648450757948763)×R²
    abs(-0.41868088--0.41877676)×4.73209631306482e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.73209631306482e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.73209631306482e-05×40589641000000     		ar = 156861.150845107m²