Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 284 / 803
↖ ↑ ↗
← S 70.959697°
W 80.156250°		 ← 12.753 km → S 70.959697°
W 79.804688°		 →
↑
12.716 km
↓
↑
12.716 km
↓
S 71.074057°
W 80.156250°		 ← 12.679 km →
161.702 km²		 S 71.074057°
W 79.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27783203125 y=0.78466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27783203125 × 210)
    floor (0.27783203125 × 1024)
    floor (284.5)     		tx = 284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78466796875 × 210)
    floor (0.78466796875 × 1024)
    floor (803.5)     		ty = 803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 284 / 803 ti = "10/284/803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/284/803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 284 ÷ 210
    284 ÷ 1024     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 803 ÷ 210
    803 ÷ 1024     		y = 0.7841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7841796875 × 2 - 1) × π
    -0.568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78555363704785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78555363704785))-π/2
    2×atan(0.167704188042023)-π/2
    2×0.166157987515839-π/2
    0.332315975031677-1.57079632675     		φ = -1.23848035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23848035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.959697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 284 KachelY 803 -1.39899048 -1.23848035 -80.156250 -70.959697
    Oben rechts KachelX + 1 285 KachelY 803 -1.39285456 -1.23848035 -79.804688 -70.959697
    Unten links KachelX 284 KachelY + 1 804 -1.39899048 -1.24047630 -80.156250 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 285 KachelY + 1 804 -1.39285456 -1.24047630 -79.804688 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23848035--1.24047630) × R
    0.00199595000000019 × 6371000     		dl = 12716.1974500012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23848035--1.24047630) × R
    0.00199595000000019 × 6371000     		dr = 12716.1974500012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39285456) × cos(-1.23848035) × R
    0.00613591999999996 × 0.32623316950853 × 6371000     		do = 12753.0895502308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39285456) × cos(-1.24047630) × R
    0.00613591999999996 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 12679.3074571261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23848035)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32623316950853-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.39285456--1.39899048)×0.00188739881357503×R²
    0.00613591999999996×0.00188739881357503×6371000²
    0.00613591999999996×0.00188739881357503×40589641000000     		ar = 161701744.6687m²