Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 284 / 346
↖ ↑ ↗
← N 75.758940°
W130.078125°		 ← 4 808.37 m → N 75.758940°
W129.902343°		 →
↑
4 815.46 m
↓
↑
4 815.46 m
↓
N 75.715634°
W130.078125°		 ← 4 822.68 m →
23 188 950 m²		 N 75.715634°
W129.902343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138916015625 y=0.169189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138916015625 × 211)
    floor (0.138916015625 × 2048)
    floor (284.5)     		tx = 284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169189453125 × 211)
    floor (0.169189453125 × 2048)
    floor (346.5)     		ty = 346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 284 / 346 ti = "11/284/346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/284/346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 284 ÷ 211
    284 ÷ 2048     		x = 0.138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 346 ÷ 211
    346 ÷ 2048     		y = 0.1689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.138671875 × 2 - 1) × π
    -0.72265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27029157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1689453125 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08007794831348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27029157} λ = -2.27029157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08007794831348))-π/2
    2×atan(8.00509287346647)-π/2
    2×1.44651963506606-π/2
    2.89303927013213-1.57079632675     		φ = 1.32224294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27029157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32224294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.758940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 284 KachelY 346 -2.27029157 1.32224294 -130.078125 75.758940
    Oben rechts KachelX + 1 285 KachelY 346 -2.26722360 1.32224294 -129.902343 75.758940
    Unten links KachelX 284 KachelY + 1 347 -2.27029157 1.32148710 -130.078125 75.715634
    Unten rechts KachelX + 1 285 KachelY + 1 347 -2.26722360 1.32148710 -129.902343 75.715634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32224294-1.32148710) × R
    0.000755840000000063 × 6371000     		dl = 4815.4566400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32224294-1.32148710) × R
    0.000755840000000063 × 6371000     		dr = 4815.4566400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27029157--2.26722360) × cos(1.32224294) × R
    0.00306797000000003 × 0.246002059369733 × 6371000     		do = 4808.36532253678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27029157--2.26722360) × cos(1.32148710) × R
    0.00306797000000003 × 0.246734601542164 × 6371000     		du = 4822.68361884795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32224294)-sin(1.32148710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246002059369733-0.246734601542164)×R²
    abs(-2.26722360--2.27029157)×0.000732542172431599×R²
    0.00306797000000003×0.000732542172431599×6371000²
    0.00306797000000003×0.000732542172431599×40589641000000     		ar = 23188950.3914471m²