Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 284 / 308
↖ ↑ ↗
← S 34.307144°
E 19.687500°		 ← 64.582 km → S 34.307144°
E 20.390625°		 →
↑
64.358 km
↓
↑
64.358 km
↓
S 34.885931°
E 19.687500°		 ← 64.134 km →
4 141.99 km²		 S 34.885931°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5556640625 y=0.6025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5556640625 × 29)
    floor (0.5556640625 × 512)
    floor (284.5)     		tx = 284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6025390625 × 29)
    floor (0.6025390625 × 512)
    floor (308.5)     		ty = 308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 284 / 308 ti = "9/284/308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/284/308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 284 ÷ 29
    284 ÷ 512     		x = 0.5546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 308 ÷ 29
    308 ÷ 512     		y = 0.6015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5546875 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34361170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6015625 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34361170} λ = 0.34361170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.638136007742187))-π/2
    2×atan(0.52827620963859)-π/2
    2×0.486011854781196-π/2
    0.972023709562392-1.57079632675     		φ = -0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34361170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 284 KachelY 308 0.34361170 -0.59877262 19.687500 -34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 285 KachelY 308 0.35588354 -0.59877262 20.390625 -34.307144
    Unten links KachelX 284 KachelY + 1 309 0.34361170 -0.60887436 19.687500 -34.885931
    Unten rechts KachelX + 1 285 KachelY + 1 309 0.35588354 -0.60887436 20.390625 -34.885931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59877262--0.60887436) × R
    0.01010174 × 6371000     		dl = 64358.1855399998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59877262--0.60887436) × R
    0.01010174 × 6371000     		dr = 64358.1855399998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34361170-0.35588354) × cos(-0.59877262) × R
    0.01227184 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 64582.0863418656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34361170-0.35588354) × cos(-0.60887436) × R
    0.01227184 × 0.82029234096332 × 6371000     		du = 64133.6483192904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59877262)-sin(-0.60887436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.82029234096332)×R²
    abs(0.35588354-0.34361170)×0.00573568298319593×R²
    0.01227184×0.00573568298319593×6371000²
    0.01227184×0.00573568298319593×40589641000000     		ar = 4141990789.18626m²