Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28399 / 22159
↖ ↑ ↗
← N 50.236666°
W 23.999634°		 ← 390.67 m → N 50.236666°
W 23.994141°		 →
↑
390.73 m
↓
↑
390.73 m
↓
N 50.233152°
W 23.999634°		 ← 390.70 m →
152 654 m²		 N 50.233152°
W 23.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433341979980469 y=0.338127136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433341979980469 × 216)
    floor (0.433341979980469 × 65536)
    floor (28399.5)     		tx = 28399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338127136230469 × 216)
    floor (0.338127136230469 × 65536)
    floor (22159.5)     		ty = 22159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28399 / 22159 ti = "16/28399/22159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28399/22159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28399 ÷ 216
    28399 ÷ 65536     		x = 0.433334350585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22159 ÷ 216
    22159 ÷ 65536     		y = 0.338119506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433334350585938 × 2 - 1) × π
    -0.133331298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41887263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338119506835938 × 2 - 1) × π
    0.323760986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01712513613835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41887263} λ = -0.41887263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01712513613835))-π/2
    2×atan(2.76523365559055)-π/2
    2×1.22379577238336-π/2
    2.44759154476672-1.57079632675     		φ = 0.87679522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41887263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.999634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87679522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.236666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28399 KachelY 22159 -0.41887263 0.87679522 -23.999634 50.236666
    Oben rechts KachelX + 1 28400 KachelY 22159 -0.41877676 0.87679522 -23.994141 50.236666
    Unten links KachelX 28399 KachelY + 1 22160 -0.41887263 0.87673389 -23.999634 50.233152
    Unten rechts KachelX + 1 28400 KachelY + 1 22160 -0.41877676 0.87673389 -23.994141 50.233152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87679522-0.87673389) × R
    6.13299999999706e-05 × 6371000     		dl = 390.733429999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87679522-0.87673389) × R
    6.13299999999706e-05 × 6371000     		dr = 390.733429999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41887263--0.41877676) × cos(0.87679522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639617916550547 × 6371000     		do = 390.670800901946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41887263--0.41877676) × cos(0.87673389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639665059288992 × 6371000     		du = 390.699595110032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87679522)-sin(0.87673389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639617916550547-0.639665059288992)×R²
    abs(-0.41877676--0.41887263)×4.71427384448608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71427384448608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71427384448608e-05×40589641000000     		ar = 152653.767514709m²