Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28398 / 14909
↖ ↑ ↗
← N 69.540279°
W 24.005127°		 ← 213.50 m → N 69.540279°
W 23.999634°		 →
↑
213.56 m
↓
↑
213.56 m
↓
N 69.538358°
W 24.005127°		 ← 213.52 m →
45 596 m²		 N 69.538358°
W 23.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433326721191406 y=0.227500915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433326721191406 × 216)
    floor (0.433326721191406 × 65536)
    floor (28398.5)     		tx = 28398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227500915527344 × 216)
    floor (0.227500915527344 × 65536)
    floor (14909.5)     		ty = 14909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28398 / 14909 ti = "16/28398/14909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28398/14909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28398 ÷ 216
    28398 ÷ 65536     		x = 0.433319091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14909 ÷ 216
    14909 ÷ 65536     		y = 0.227493286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.13336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41896850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227493286132812 × 2 - 1) × π
    0.545013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71221018062917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41896850} λ = -0.41896850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71221018062917))-π/2
    2×atan(5.54119499534324)-π/2
    2×1.39225157724379-π/2
    2.78450315448757-1.57079632675     		φ = 1.21370683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41896850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21370683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.540279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28398 KachelY 14909 -0.41896850 1.21370683 -24.005127 69.540279
    Oben rechts KachelX + 1 28399 KachelY 14909 -0.41887263 1.21370683 -23.999634 69.540279
    Unten links KachelX 28398 KachelY + 1 14910 -0.41896850 1.21367331 -24.005127 69.538358
    Unten rechts KachelX + 1 28399 KachelY + 1 14910 -0.41887263 1.21367331 -23.999634 69.538358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21370683-1.21367331) × R
    3.35200000001201e-05 × 6371000     		dl = 213.555920000765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21370683-1.21367331) × R
    3.35200000001201e-05 × 6371000     		dr = 213.555920000765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41896850--0.41887263) × cos(1.21370683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349548814354324 × 6371000     		do = 213.500140825617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41896850--0.41887263) × cos(1.21367331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349580219654449 × 6371000     		du = 213.519322798846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21370683)-sin(1.21367331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349548814354324-0.349580219654449)×R²
    abs(-0.41887263--0.41896850)×3.14053001251868e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14053001251868e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14053001251868e-05×40589641000000     		ar = 45596.2672103589m²