Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28397 / 22309
↖ ↑ ↗
← N 49.706720°
W 24.010620°		 ← 395.04 m → N 49.706720°
W 24.005127°		 →
↑
395 m
↓
↑
395 m
↓
N 49.703168°
W 24.010620°		 ← 395.07 m →
156 046 m²		 N 49.703168°
W 24.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433311462402344 y=0.340415954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433311462402344 × 216)
    floor (0.433311462402344 × 65536)
    floor (28397.5)     		tx = 28397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340415954589844 × 216)
    floor (0.340415954589844 × 65536)
    floor (22309.5)     		ty = 22309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28397 / 22309 ti = "16/28397/22309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28397/22309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28397 ÷ 216
    28397 ÷ 65536     		x = 0.433303833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22309 ÷ 216
    22309 ÷ 65536     		y = 0.340408325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433303833007812 × 2 - 1) × π
    -0.133392333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41906438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340408325195312 × 2 - 1) × π
    0.319183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00274406625233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41906438} λ = -0.41906438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00274406625233))-π/2
    2×atan(2.725751217451)-π/2
    2×1.21917112802411-π/2
    2.43834225604822-1.57079632675     		φ = 0.86754593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41906438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86754593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.706720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28397 KachelY 22309 -0.41906438 0.86754593 -24.010620 49.706720
    Oben rechts KachelX + 1 28398 KachelY 22309 -0.41896850 0.86754593 -24.005127 49.706720
    Unten links KachelX 28397 KachelY + 1 22310 -0.41906438 0.86748393 -24.010620 49.703168
    Unten rechts KachelX + 1 28398 KachelY + 1 22310 -0.41896850 0.86748393 -24.005127 49.703168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86754593-0.86748393) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dl = 395.002000000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86754593-0.86748393) × R
    6.20000000000065e-05 × 6371000     		dr = 395.002000000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41906438--0.41896850) × cos(0.86754593) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		do = 395.037847803354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41906438--0.41896850) × cos(0.86748393) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		du = 395.066734295854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86754593)-sin(0.86748393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646700320351821-0.646747609248461)×R²
    abs(-0.41896850--0.41906438)×4.72888966404073e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72888966404073e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72888966404073e-05×40589641000000     		ar = 156046.445119382m²