Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28396 / 22164
↖ ↑ ↗
← N 50.219095°
W 24.016113°		 ← 390.81 m → N 50.219095°
W 24.010620°		 →
↑
390.86 m
↓
↑
390.86 m
↓
N 50.215580°
W 24.016113°		 ← 390.84 m →
152 760 m²		 N 50.215580°
W 24.010620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433296203613281 y=0.338203430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433296203613281 × 216)
    floor (0.433296203613281 × 65536)
    floor (28396.5)     		tx = 28396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338203430175781 × 216)
    floor (0.338203430175781 × 65536)
    floor (22164.5)     		ty = 22164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28396 / 22164 ti = "16/28396/22164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28396/22164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28396 ÷ 216
    28396 ÷ 65536     		x = 0.43328857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22164 ÷ 216
    22164 ÷ 65536     		y = 0.33819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.1334228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41916025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33819580078125 × 2 - 1) × π
    0.3236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01664576714215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41916025} λ = -0.41916025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01664576714215))-π/2
    2×atan(2.76390840597598)-π/2
    2×1.22364243763684-π/2
    2.44728487527368-1.57079632675     		φ = 0.87648855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41916025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87648855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.219095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28396 KachelY 22164 -0.41916025 0.87648855 -24.016113 50.219095
    Oben rechts KachelX + 1 28397 KachelY 22164 -0.41906438 0.87648855 -24.010620 50.219095
    Unten links KachelX 28396 KachelY + 1 22165 -0.41916025 0.87642720 -24.016113 50.215580
    Unten rechts KachelX + 1 28397 KachelY + 1 22165 -0.41906438 0.87642720 -24.010620 50.215580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87648855-0.87642720) × R
    6.13500000000711e-05 × 6371000     		dl = 390.860850000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87648855-0.87642720) × R
    6.13500000000711e-05 × 6371000     		dr = 390.860850000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41916025--0.41906438) × cos(0.87648855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639853621550772 × 6371000     		do = 390.814766633411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41916025--0.41906438) × cos(0.87642720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639900767625729 × 6371000     		du = 390.843562879398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87648855)-sin(0.87642720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639853621550772-0.639900767625729)×R²
    abs(-0.41906438--0.41916025)×4.71460749569275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71460749569275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71460749569275e-05×40589641000000     		ar = 152759.819589407m²