Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28394 / 22341
↖ ↑ ↗
← N 49.592910°
W 24.027100°		 ← 395.96 m → N 49.592910°
W 24.021606°		 →
↑
395.96 m
↓
↑
395.96 m
↓
N 49.589349°
W 24.027100°		 ← 395.99 m →
156 790 m²		 N 49.589349°
W 24.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433265686035156 y=0.340904235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433265686035156 × 216)
    floor (0.433265686035156 × 65536)
    floor (28394.5)     		tx = 28394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340904235839844 × 216)
    floor (0.340904235839844 × 65536)
    floor (22341.5)     		ty = 22341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28394 / 22341 ti = "16/28394/22341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28394/22341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28394 ÷ 216
    28394 ÷ 65536     		x = 0.433258056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22341 ÷ 216
    22341 ÷ 65536     		y = 0.340896606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433258056640625 × 2 - 1) × π
    -0.13348388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41935200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340896606445312 × 2 - 1) × π
    0.318206787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999676104676651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41935200} λ = -0.41935200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999676104676651))-π/2
    2×atan(2.71740153225687)-π/2
    2×1.21817794119825-π/2
    2.43635588239651-1.57079632675     		φ = 0.86555956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41935200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.027100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86555956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.592910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28394 KachelY 22341 -0.41935200 0.86555956 -24.027100 49.592910
    Oben rechts KachelX + 1 28395 KachelY 22341 -0.41925612 0.86555956 -24.021606 49.592910
    Unten links KachelX 28394 KachelY + 1 22342 -0.41935200 0.86549741 -24.027100 49.589349
    Unten rechts KachelX + 1 28395 KachelY + 1 22342 -0.41925612 0.86549741 -24.021606 49.589349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86555956-0.86549741) × R
    6.21499999999831e-05 × 6371000     		dl = 395.957649999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86555956-0.86549741) × R
    6.21499999999831e-05 × 6371000     		dr = 395.957649999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41935200--0.41925612) × cos(0.86555956) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.648214135696082 × 6371000     		do = 395.962564146842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41935200--0.41925612) × cos(0.86549741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64826145906491 × 6371000     		du = 395.991471696729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86555956)-sin(0.86549741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648214135696082-0.64826145906491)×R²
    abs(-0.41925612--0.41935200)×4.732336882729e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.732336882729e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.732336882729e-05×40589641000000     		ar = 156790.129521141m²