Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28391 / 20786
↖ ↑ ↗
← N 76.648109°
W102.021790°		 ← 70.53 m → N 76.648109°
W102.019043°		 →
↑
70.59 m
↓
↑
70.59 m
↓
N 76.647474°
W102.021790°		 ← 70.54 m →
4 979 m²		 N 76.647474°
W102.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216609954833984 y=0.158588409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216609954833984 × 217)
    floor (0.216609954833984 × 131072)
    floor (28391.5)     		tx = 28391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158588409423828 × 217)
    floor (0.158588409423828 × 131072)
    floor (20786.5)     		ty = 20786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28391 / 20786 ti = "17/28391/20786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28391/20786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28391 ÷ 217
    28391 ÷ 131072     		x = 0.216606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20786 ÷ 217
    20786 ÷ 131072     		y = 0.158584594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216606140136719 × 2 - 1) × π
    -0.566787719726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.78061614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158584594726562 × 2 - 1) × π
    0.682830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14517625799751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78061614} λ = -1.78061614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14517625799751))-π/2
    2×atan(8.54354697307234)-π/2
    2×1.45427909105306-π/2
    2.90855818210612-1.57079632675     		φ = 1.33776186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78061614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.021790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33776186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.648109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28391 KachelY 20786 -1.78061614 1.33776186 -102.021790 76.648109
    Oben rechts KachelX + 1 28392 KachelY 20786 -1.78056820 1.33776186 -102.019043 76.648109
    Unten links KachelX 28391 KachelY + 1 20787 -1.78061614 1.33775078 -102.021790 76.647474
    Unten rechts KachelX + 1 28392 KachelY + 1 20787 -1.78056820 1.33775078 -102.019043 76.647474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33776186-1.33775078) × R
    1.10800000001632e-05 × 6371000     		dl = 70.5906800010396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33776186-1.33775078) × R
    1.10800000001632e-05 × 6371000     		dr = 70.5906800010396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78061614--1.78056820) × cos(1.33776186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230931027739456 × 6371000     		do = 70.5322800362376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78061614--1.78056820) × cos(1.33775078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230941808234245 × 6371000     		du = 70.535572676836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33776186)-sin(1.33775078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230931027739456-0.230941808234245)×R²
    abs(-1.78056820--1.78061614)×1.0780494788476e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0780494788476e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0780494788476e-05×40589641000000     		ar = 4979.0378247119m²