Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28390 / 4646
↖ ↑ ↗
← N 77.975323°
E131.901856°		 ← 254.49 m → N 77.975323°
E131.912842°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
N 77.973035°
E131.901856°		 ← 254.54 m →
64 780 m²		 N 77.973035°
E131.912842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866409301757812 y=0.141799926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866409301757812 × 215)
    floor (0.866409301757812 × 32768)
    floor (28390.5)     		tx = 28390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141799926757812 × 215)
    floor (0.141799926757812 × 32768)
    floor (4646.5)     		ty = 4646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28390 / 4646 ti = "15/28390/4646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28390/4646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28390 ÷ 215
    28390 ÷ 32768     		x = 0.86639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4646 ÷ 215
    4646 ÷ 32768     		y = 0.14178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86639404296875 × 2 - 1) × π
    0.7327880859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.30212167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14178466796875 × 2 - 1) × π
    0.7164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25073331096088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.30212167} λ = 2.30212167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25073331096088))-π/2
    2×atan(9.49469584865599)-π/2
    2×1.46586122826217-π/2
    2.93172245652433-1.57079632675     		φ = 1.36092613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.30212167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.901856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36092613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.975323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28390 KachelY 4646 2.30212167 1.36092613 131.901856 77.975323
    Oben rechts KachelX + 1 28391 KachelY 4646 2.30231341 1.36092613 131.912842 77.975323
    Unten links KachelX 28390 KachelY + 1 4647 2.30212167 1.36088618 131.901856 77.973035
    Unten rechts KachelX + 1 28391 KachelY + 1 4647 2.30231341 1.36088618 131.912842 77.973035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36092613-1.36088618) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dl = 254.521449999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36092613-1.36088618) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dr = 254.521449999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.30212167-2.30231341) × cos(1.36092613) × R
    0.000191739999999996 × 0.208332946542878 × 6371000     		do = 254.494431672901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.30212167-2.30231341) × cos(1.36088618) × R
    0.000191739999999996 × 0.208372019792329 × 6371000     		du = 254.542162598699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36092613)-sin(1.36088618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208332946542878-0.208372019792329)×R²
    abs(2.30231341-2.30212167)×3.90732494511825e-05×R²
    0.000191739999999996×3.90732494511825e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.90732494511825e-05×40589641000000     		ar = 64780.3660472864m²