Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2839 / 5911
↖ ↑ ↗
← S 62.083315°
W 55.239258°		 ← 2 287.82 m → S 62.083315°
W 55.195312°		 →
↑
2 287.06 m
↓
↑
2 287.06 m
↓
S 62.103883°
W 55.239258°		 ← 2 286.27 m →
5 230 620 m²		 S 62.103883°
W 55.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34661865234375 y=0.72161865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34661865234375 × 213)
    floor (0.34661865234375 × 8192)
    floor (2839.5)     		tx = 2839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72161865234375 × 213)
    floor (0.72161865234375 × 8192)
    floor (5911.5)     		ty = 5911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2839 / 5911 ti = "13/2839/5911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2839/5911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2839 ÷ 213
    2839 ÷ 8192     		x = 0.3465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5911 ÷ 213
    5911 ÷ 8192     		y = 0.7215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.306884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96410693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39208756496643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96410693} λ = -0.96410693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39208756496643))-π/2
    2×atan(0.248555886100313)-π/2
    2×0.243619035951376-π/2
    0.487238071902752-1.57079632675     		φ = -1.08355825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96410693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08355825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.083315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2839 KachelY 5911 -0.96410693 -1.08355825 -55.239258 -62.083315
    Oben rechts KachelX + 1 2840 KachelY 5911 -0.96333993 -1.08355825 -55.195312 -62.083315
    Unten links KachelX 2839 KachelY + 1 5912 -0.96410693 -1.08391723 -55.239258 -62.103883
    Unten rechts KachelX + 1 2840 KachelY + 1 5912 -0.96333993 -1.08391723 -55.195312 -62.103883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08355825--1.08391723) × R
    0.000358979999999898 × 6371000     		dl = 2287.06157999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08355825--1.08391723) × R
    0.000358979999999898 × 6371000     		dr = 2287.06157999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96410693--0.96333993) × cos(-1.08355825) × R
    0.000767000000000073 × 0.468187160654867 × 6371000     		do = 2287.82324720838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96410693--0.96333993) × cos(-1.08391723) × R
    0.000767000000000073 × 0.467869925240023 × 6371000     		du = 2286.27305827133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08355825)-sin(-1.08391723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468187160654867-0.467869925240023)×R²
    abs(-0.96333993--0.96410693)×0.000317235414843686×R²
    0.000767000000000073×0.000317235414843686×6371000²
    0.000767000000000073×0.000317235414843686×40589641000000     		ar = 5230620.01791413m²