Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28384 / 22368
↖ ↑ ↗
← N 49.496675°
W 24.082031°		 ← 396.74 m → N 49.496675°
W 24.076538°		 →
↑
396.72 m
↓
↑
396.72 m
↓
N 49.493107°
W 24.082031°		 ← 396.77 m →
157 403 m²		 N 49.493107°
W 24.076538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433113098144531 y=0.341316223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433113098144531 × 216)
    floor (0.433113098144531 × 65536)
    floor (28384.5)     		tx = 28384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341316223144531 × 216)
    floor (0.341316223144531 × 65536)
    floor (22368.5)     		ty = 22368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28384 / 22368 ti = "16/28384/22368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28384/22368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28384 ÷ 216
    28384 ÷ 65536     		x = 0.43310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22368 ÷ 216
    22368 ÷ 65536     		y = 0.34130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43310546875 × 2 - 1) × π
    -0.1337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42031074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34130859375 × 2 - 1) × π
    0.3173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997087512097168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42031074} λ = -0.42031074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997087512097168))-π/2
    2×atan(2.71037638336199)-π/2
    2×1.21733813303438-π/2
    2.43467626606875-1.57079632675     		φ = 0.86387994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42031074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.082031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86387994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.496675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28384 KachelY 22368 -0.42031074 0.86387994 -24.082031 49.496675
    Oben rechts KachelX + 1 28385 KachelY 22368 -0.42021486 0.86387994 -24.076538 49.496675
    Unten links KachelX 28384 KachelY + 1 22369 -0.42031074 0.86381767 -24.082031 49.493107
    Unten rechts KachelX + 1 28385 KachelY + 1 22369 -0.42021486 0.86381767 -24.076538 49.493107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86387994-0.86381767) × R
    6.22700000000309e-05 × 6371000     		dl = 396.722170000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86387994-0.86381767) × R
    6.22700000000309e-05 × 6371000     		dr = 396.722170000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42031074--0.42021486) × cos(0.86387994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649492180998693 × 6371000     		do = 396.743260011449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42031074--0.42021486) × cos(0.86381767) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.649539527871648 × 6371000     		du = 396.772181918867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86387994)-sin(0.86381767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649492180998693-0.649539527871648)×R²
    abs(-0.42021486--0.42031074)×4.73468729549342e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73468729549342e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73468729549342e-05×40589641000000     		ar = 157402.584076501m²