Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28383 / 22306
↖ ↑ ↗
← N 49.717376°
W 24.087524°		 ← 394.91 m → N 49.717376°
W 24.082031°		 →
↑
394.94 m
↓
↑
394.94 m
↓
N 49.713824°
W 24.087524°		 ← 394.94 m →
155 971 m²		 N 49.713824°
W 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433097839355469 y=0.340370178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433097839355469 × 216)
    floor (0.433097839355469 × 65536)
    floor (28383.5)     		tx = 28383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340370178222656 × 216)
    floor (0.340370178222656 × 65536)
    floor (22306.5)     		ty = 22306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28383 / 22306 ti = "16/28383/22306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28383/22306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28383 ÷ 216
    28383 ÷ 65536     		x = 0.433090209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22306 ÷ 216
    22306 ÷ 65536     		y = 0.340362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433090209960938 × 2 - 1) × π
    -0.133819580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42040661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340362548828125 × 2 - 1) × π
    0.31927490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00303168765005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42040661} λ = -0.42040661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00303168765005))-π/2
    2×atan(2.72653531458216)-π/2
    2×1.21926412024792-π/2
    2.43852824049583-1.57079632675     		φ = 0.86773191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42040661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.087524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86773191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.717376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28383 KachelY 22306 -0.42040661 0.86773191 -24.087524 49.717376
    Oben rechts KachelX + 1 28384 KachelY 22306 -0.42031074 0.86773191 -24.082031 49.717376
    Unten links KachelX 28383 KachelY + 1 22307 -0.42040661 0.86766992 -24.087524 49.713824
    Unten rechts KachelX + 1 28384 KachelY + 1 22307 -0.42031074 0.86766992 -24.082031 49.713824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86773191-0.86766992) × R
    6.19900000000673e-05 × 6371000     		dl = 394.938290000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86773191-0.86766992) × R
    6.19900000000673e-05 × 6371000     		dr = 394.938290000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42040661--0.42031074) × cos(0.86773191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64655845400442 × 6371000     		do = 394.909996295998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42040661--0.42031074) × cos(0.86766992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.646605742729217 × 6371000     		du = 394.938879670764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86773191)-sin(0.86766992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64655845400442-0.646605742729217)×R²
    abs(-0.42031074--0.42040661)×4.72887247978671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72887247978671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72887247978671e-05×40589641000000     		ar = 155970.782266724m²