Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28380 / 42110
↖ ↑ ↗
← S 45.575600°
W 24.104004°		 ← 427.53 m → S 45.575600°
W 24.098511°		 →
↑
427.56 m
↓
↑
427.56 m
↓
S 45.579445°
W 24.104004°		 ← 427.50 m →
182 788 m²		 S 45.579445°
W 24.098511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433052062988281 y=0.642555236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433052062988281 × 216)
    floor (0.433052062988281 × 65536)
    floor (28380.5)     		tx = 28380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642555236816406 × 216)
    floor (0.642555236816406 × 65536)
    floor (42110.5)     		ty = 42110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28380 / 42110 ti = "16/28380/42110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28380/42110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28380 ÷ 216
    28380 ÷ 65536     		x = 0.43304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42110 ÷ 216
    42110 ÷ 65536     		y = 0.642547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42069423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.28509521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.895653032501129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42069423} λ = -0.42069423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895653032501129))-π/2
    2×atan(0.408340851705416)-π/2
    2×0.387676022292403-π/2
    0.775352044584807-1.57079632675     		φ = -0.79544428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42069423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79544428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.575600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28380 KachelY 42110 -0.42069423 -0.79544428 -24.104004 -45.575600
    Oben rechts KachelX + 1 28381 KachelY 42110 -0.42059836 -0.79544428 -24.098511 -45.575600
    Unten links KachelX 28380 KachelY + 1 42111 -0.42069423 -0.79551139 -24.104004 -45.579445
    Unten rechts KachelX + 1 28381 KachelY + 1 42111 -0.42059836 -0.79551139 -24.098511 -45.579445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79544428--0.79551139) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dl = 427.557810000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79544428--0.79551139) × R
    6.71100000000369e-05 × 6371000     		dr = 427.557810000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42069423--0.42059836) × cos(-0.79544428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699967541616318 × 6371000     		do = 427.531613816204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42069423--0.42059836) × cos(-0.79551139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.699919611778884 × 6371000     		du = 427.502338857681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79544428)-sin(-0.79551139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699967541616318-0.699919611778884)×R²
    abs(-0.42059836--0.42069423)×4.79298374346238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79298374346238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79298374346238e-05×40589641000000     		ar = 182788.222209532m²