Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2838 / 5910
↖ ↑ ↗
← S 62.062733°
W 55.283203°		 ← 2 289.34 m → S 62.062733°
W 55.239258°		 →
↑
2 288.53 m
↓
↑
2 288.53 m
↓
S 62.083315°
W 55.283203°		 ← 2 287.79 m →
5 237 451 m²		 S 62.083315°
W 55.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34649658203125 y=0.72149658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34649658203125 × 213)
    floor (0.34649658203125 × 8192)
    floor (2838.5)     		tx = 2838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72149658203125 × 213)
    floor (0.72149658203125 × 8192)
    floor (5910.5)     		ty = 5910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2838 / 5910 ti = "13/2838/5910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2838/5910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2838 ÷ 213
    2838 ÷ 8192     		x = 0.346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5910 ÷ 213
    5910 ÷ 8192     		y = 0.721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96487392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.44287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39132057457251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96487392} λ = -0.96487392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39132057457251))-π/2
    2×atan(0.248746599205515)-π/2
    2×0.243798644329833-π/2
    0.487597288659666-1.57079632675     		φ = -1.08319904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96487392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08319904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.062733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2838 KachelY 5910 -0.96487392 -1.08319904 -55.283203 -62.062733
    Oben rechts KachelX + 1 2839 KachelY 5910 -0.96410693 -1.08319904 -55.239258 -62.062733
    Unten links KachelX 2838 KachelY + 1 5911 -0.96487392 -1.08355825 -55.283203 -62.083315
    Unten rechts KachelX + 1 2839 KachelY + 1 5911 -0.96410693 -1.08355825 -55.239258 -62.083315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08319904--1.08355825) × R
    0.000359210000000054 × 6371000     		dl = 2288.52691000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08319904--1.08355825) × R
    0.000359210000000054 × 6371000     		dr = 2288.52691000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96487392--0.96410693) × cos(-1.08319904) × R
    0.000766990000000023 × 0.468504538932068 × 6371000     		do = 2289.34428582616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96487392--0.96410693) × cos(-1.08355825) × R
    0.000766990000000023 × 0.468187160654867 × 6371000     		du = 2287.79341900423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08319904)-sin(-1.08355825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468504538932068-0.468187160654867)×R²
    abs(-0.96410693--0.96487392)×0.000317378277201019×R²
    0.000766990000000023×0.000317378277201019×6371000²
    0.000766990000000023×0.000317378277201019×40589641000000     		ar = 5237451.46045401m²