Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28379 / 22349
↖ ↑ ↗
← N 49.564415°
W 24.109497°		 ← 396.15 m → N 49.564415°
W 24.104004°		 →
↑
396.21 m
↓
↑
396.21 m
↓
N 49.560852°
W 24.109497°		 ← 396.18 m →
156 966 m²		 N 49.560852°
W 24.104004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433036804199219 y=0.341026306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433036804199219 × 216)
    floor (0.433036804199219 × 65536)
    floor (28379.5)     		tx = 28379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341026306152344 × 216)
    floor (0.341026306152344 × 65536)
    floor (22349.5)     		ty = 22349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28379 / 22349 ti = "16/28379/22349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28379/22349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28379 ÷ 216
    28379 ÷ 65536     		x = 0.433029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22349 ÷ 216
    22349 ÷ 65536     		y = 0.341018676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433029174804688 × 2 - 1) × π
    -0.133941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42079010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341018676757812 × 2 - 1) × π
    0.317962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99890911428273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42079010} λ = -0.42079010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99890911428273))-π/2
    2×atan(2.71531811046959)-π/2
    2×1.21792928159418-π/2
    2.43585856318836-1.57079632675     		φ = 0.86506224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42079010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.109497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86506224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.564415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28379 KachelY 22349 -0.42079010 0.86506224 -24.109497 49.564415
    Oben rechts KachelX + 1 28380 KachelY 22349 -0.42069423 0.86506224 -24.104004 49.564415
    Unten links KachelX 28379 KachelY + 1 22350 -0.42079010 0.86500005 -24.109497 49.560852
    Unten rechts KachelX + 1 28380 KachelY + 1 22350 -0.42069423 0.86500005 -24.104004 49.560852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86506224-0.86500005) × R
    6.2189999999962e-05 × 6371000     		dl = 396.212489999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86506224-0.86500005) × R
    6.2189999999962e-05 × 6371000     		dr = 396.212489999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42079010--0.42069423) × cos(0.86506224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648592743861046 × 6371000     		do = 396.152515661061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42079010--0.42069423) × cos(0.86500005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.648640077631817 × 6371000     		du = 396.181426549356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86506224)-sin(0.86500005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648592743861046-0.648640077631817)×R²
    abs(-0.42069423--0.42079010)×4.73337707705968e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73337707705968e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73337707705968e-05×40589641000000     		ar = 156966.302127882m²