Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28379 / 22221
↖ ↑ ↗
← N 50.018329°
W 24.109497°		 ← 392.46 m → N 50.018329°
W 24.104004°		 →
↑
392.52 m
↓
↑
392.52 m
↓
N 50.014799°
W 24.109497°		 ← 392.49 m →
154 052 m²		 N 50.014799°
W 24.104004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433036804199219 y=0.339073181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433036804199219 × 216)
    floor (0.433036804199219 × 65536)
    floor (28379.5)     		tx = 28379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339073181152344 × 216)
    floor (0.339073181152344 × 65536)
    floor (22221.5)     		ty = 22221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28379 / 22221 ti = "16/28379/22221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28379/22221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28379 ÷ 216
    28379 ÷ 65536     		x = 0.433029174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22221 ÷ 216
    22221 ÷ 65536     		y = 0.339065551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433029174804688 × 2 - 1) × π
    -0.133941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42079010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339065551757812 × 2 - 1) × π
    0.321868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01118096058546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42079010} λ = -0.42079010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01118096058546))-π/2
    2×atan(2.74884537695378)-π/2
    2×1.22189042670128-π/2
    2.44378085340255-1.57079632675     		φ = 0.87298453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42079010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.109497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87298453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.018329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28379 KachelY 22221 -0.42079010 0.87298453 -24.109497 50.018329
    Oben rechts KachelX + 1 28380 KachelY 22221 -0.42069423 0.87298453 -24.104004 50.018329
    Unten links KachelX 28379 KachelY + 1 22222 -0.42079010 0.87292292 -24.109497 50.014799
    Unten rechts KachelX + 1 28380 KachelY + 1 22222 -0.42069423 0.87292292 -24.104004 50.014799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87298453-0.87292292) × R
    6.16099999999342e-05 × 6371000     		dl = 392.517309999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87298453-0.87292292) × R
    6.16099999999342e-05 × 6371000     		dr = 392.517309999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42079010--0.42069423) × cos(0.87298453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642542516116033 × 6371000     		do = 392.457110548692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42079010--0.42069423) × cos(0.87292292) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.642589723561134 × 6371000     		du = 392.485944278813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87298453)-sin(0.87292292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642542516116033-0.642589723561134)×R²
    abs(-0.42069423--0.42079010)×4.72074451011162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72074451011162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72074451011162e-05×40589641000000     		ar = 154051.868240492m²