Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28378 / 4638
↖ ↑ ↗
← N 77.993620°
E131.770020°		 ← 254.11 m → N 77.993620°
E131.781006°		 →
↑
254.14 m
↓
↑
254.14 m
↓
N 77.991335°
E131.770020°		 ← 254.16 m →
64 586 m²		 N 77.991335°
E131.781006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.866043090820312 y=0.141555786132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.866043090820312 × 215)
    floor (0.866043090820312 × 32768)
    floor (28378.5)     		tx = 28378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141555786132812 × 215)
    floor (0.141555786132812 × 32768)
    floor (4638.5)     		ty = 4638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28378 / 4638 ti = "15/28378/4638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28378/4638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28378 ÷ 215
    28378 ÷ 32768     		x = 0.86602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4638 ÷ 215
    4638 ÷ 32768     		y = 0.14154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86602783203125 × 2 - 1) × π
    0.7320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.29982070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14154052734375 × 2 - 1) × π
    0.7169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25226729174872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29982070} λ = 2.29982070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25226729174872))-π/2
    2×atan(9.50927170635887)-π/2
    2×1.46602089782055-π/2
    2.9320417956411-1.57079632675     		φ = 1.36124547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29982070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.770020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36124547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.993620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28378 KachelY 4638 2.29982070 1.36124547 131.770020 77.993620
    Oben rechts KachelX + 1 28379 KachelY 4638 2.30001244 1.36124547 131.781006 77.993620
    Unten links KachelX 28378 KachelY + 1 4639 2.29982070 1.36120558 131.770020 77.991335
    Unten rechts KachelX + 1 28379 KachelY + 1 4639 2.30001244 1.36120558 131.781006 77.991335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36124547-1.36120558) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dl = 254.13919000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36124547-1.36120558) × R
    3.98900000000424e-05 × 6371000     		dr = 254.13919000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29982070-2.30001244) × cos(1.36124547) × R
    0.000191739999999996 × 0.208020602894872 × 6371000     		do = 254.112880312423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29982070-2.30001244) × cos(1.36120558) × R
    0.000191739999999996 × 0.208059620113447 × 6371000     		du = 254.160542792273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36124547)-sin(1.36120558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208020602894872-0.208059620113447)×R²
    abs(2.30001244-2.29982070)×3.90172185751603e-05×R²
    0.000191739999999996×3.90172185751603e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.90172185751603e-05×40589641000000     		ar = 64586.0980320276m²