Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28378 / 22154
↖ ↑ ↗
← N 50.254230°
W 24.114990°		 ← 390.57 m → N 50.254230°
W 24.109497°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
N 50.250717°
W 24.114990°		 ← 390.60 m →
152 539 m²		 N 50.250717°
W 24.109497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433021545410156 y=0.338050842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433021545410156 × 216)
    floor (0.433021545410156 × 65536)
    floor (28378.5)     		tx = 28378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338050842285156 × 216)
    floor (0.338050842285156 × 65536)
    floor (22154.5)     		ty = 22154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28378 / 22154 ti = "16/28378/22154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28378/22154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28378 ÷ 216
    28378 ÷ 65536     		x = 0.433013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22154 ÷ 216
    22154 ÷ 65536     		y = 0.338043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.13397216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42088598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338043212890625 × 2 - 1) × π
    0.32391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01760450513455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42088598} λ = -0.42088598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01760450513455))-π/2
    2×atan(2.766559540641)-π/2
    2×1.22394905063833-π/2
    2.44789810127667-1.57079632675     		φ = 0.87710177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42088598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87710177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.254230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28378 KachelY 22154 -0.42088598 0.87710177 -24.114990 50.254230
    Oben rechts KachelX + 1 28379 KachelY 22154 -0.42079010 0.87710177 -24.109497 50.254230
    Unten links KachelX 28378 KachelY + 1 22155 -0.42088598 0.87704047 -24.114990 50.250717
    Unten rechts KachelX + 1 28379 KachelY + 1 22155 -0.42079010 0.87704047 -24.109497 50.250717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87710177-0.87704047) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dl = 390.542300000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87710177-0.87704047) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dr = 390.542300000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42088598--0.42079010) × cos(0.87710177) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639382243663191 × 6371000     		do = 390.567589827351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42088598--0.42079010) × cos(0.87704047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		du = 390.596380293882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87710177)-sin(0.87704047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639382243663191-0.639429375359641)×R²
    abs(-0.42079010--0.42088598)×4.71316964498758e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71316964498758e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71316964498758e-05×40589641000000     		ar = 152538.786831806m²